Kugeln: Gleichung, Mittelpunkt, Radius

Definition und Gleichung

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte im Raum, die von einem festen Punkt (dem Mittelpunkt $ M $) einen festen Abstand (den Radius $ r $) haben. Ist $ M = (m_1, m_2, m_3) $, so erfüllt jeder Punkt $ X = (x_1, x_2, x_3) $ auf der Kugel die Gleichung:

$$|\overrightarrow{MX}|^2 = r^2$$

Ausgeschrieben ergibt sich die Kugelgleichung in Mittelpunktform:

$$(x_1 – m_1)^2 + (x_2 – m_2)^2 + (x_3 – m_3)^2 = r^2$$

Beispiel: Eine Kugel mit Mittelpunkt $ M(2, -1, 3) $ und Radius $ r = 5 $ hat die Gleichung $ (x_1-2)^2 + (x_2+1)^2 + (x_3-3)^2 = 25 $.

Die allgemeine Form

Multipliziert man die Mittelpunktform aus, erhält man die allgemeine Form:

$$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ax_1 + bx_2 + cx_3 + d = 0$$

Um aus der allgemeinen Form Mittelpunkt und Radius abzulesen, führt man eine quadratische Ergänzung für jede Variable durch. Es gilt $ m_1 = -\frac{a}{2} $, $ m_2 = -\frac{b}{2} $, $ m_3 = -\frac{c}{2} $ und $ r^2 = m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 – d $.

Beispiel: $ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 – 4x_1 + 6x_2 – 2x_3 – 2 = 0 $. Quadratische Ergänzung: $ (x_1-2)^2 – 4 + (x_2+3)^2 – 9 + (x_3-1)^2 – 1 – 2 = 0 $, also $ (x_1-2)^2 + (x_2+3)^2 + (x_3-1)^2 = 16 $. Mittelpunkt $ M(2, -3, 1) $, Radius $ r = 4 $.

Lage eines Punktes bezüglich einer Kugel

Die Lage eines Punktes $ P $ bezüglich einer Kugel mit Mittelpunkt $ M $ und Radius $ r $ ergibt sich aus dem Vergleich des Abstands $ |MP| $ mit dem Radius:

$ |MP| < r $: $ P $ liegt innerhalb der Kugel.
$ |MP| = r $: $ P $ liegt auf der Kugel.
$ |MP| > r $: $ P $ liegt außerhalb der Kugel.

Bestimmung der Kugelgleichung aus Bedingungen

Aus Mittelpunkt und einem Kugelpunkt: Der Radius ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und dem gegebenen Punkt.

Aus Mittelpunkt und einer Tangentialebene: Der Radius ist der Abstand des Mittelpunkts von der Ebene.

Aus vier Punkten: Setzt man vier nicht-koplanare Punkte in die allgemeine Kugelgleichung ein, erhält man ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten $ a, b, c, d $.

Beispiel: Kugel mit Mittelpunkt $ M(1, 0, 2) $, die die Ebene $ E: 2x_1 – x_2 + 2x_3 = 12 $ berührt. Abstand: $ r = \frac{|2 \cdot 1 – 0 + 2 \cdot 2 – 12|}{3} = \frac{|-6|}{3} = 2 $. Kugelgleichung: $ (x_1-1)^2 + x_2^2 + (x_3-2)^2 = 4 $.

Kugel und Symmetrie

Die Kugel ist das dreidimensionale Analogon zum Kreis und besitzt die höchste Symmetrie aller Körper: Sie ist invariant unter jeder Drehung um den Mittelpunkt. Jede Ebene durch den Mittelpunkt schneidet die Kugel in einem Großkreis mit dem Kugelradius. Parallele Ebenen, die die Kugel schneiden, erzeugen Kleinkreise mit einem Radius, der kleiner als der Kugelradius ist.

Zusammenfassung

Die Kugelgleichung in Mittelpunktform $ (x_1-m_1)^2 + (x_2-m_2)^2 + (x_3-m_3)^2 = r^2 $ beschreibt alle Punkte mit festem Abstand $ r $ vom Mittelpunkt. Die quadratische Ergänzung transformiert die allgemeine Form in die Mittelpunktform und offenbart Mittelpunkt und Radius. Die Lage eines Punktes wird über seinen Abstand zum Mittelpunkt bestimmt. Kugeln lassen sich aus verschiedenen Bedingungskombinationen konstruieren und bilden eine Brücke zwischen analytischer Geometrie und räumlicher Vorstellung.