Spiegelung an Geraden im Raum

Grundprinzip

Bei der Spiegelung eines Punktes $ P $ an einer Geraden $ g $ wird der Punkt so abgebildet, dass die Gerade die Symmetrieachse bildet. Der Lotfußpunkt $ F $ (der Punkt auf $ g $, der $ P $ am nächsten ist) ist der Mittelpunkt der Strecke $ \overline{PP‘} $. Wie bei der Ebenenspiegelung gilt: $ \vec{p‘} = 2\vec{f} – \vec{p} $.

Vorgehen

Lotfußpunkt bestimmen: Berechne den Punkt $ F $ auf $ g $, der $ P $ am nächsten ist. Dies geschieht über die Orthogonalitätsbedingung $ \overrightarrow{FP} \cdot \vec{u} = 0 $, wobei $ \vec{u} $ der Richtungsvektor von $ g $ ist.
Spiegelpunkt berechnen: $ \vec{p‘} = 2\vec{f} – \vec{p} $.

Detaillierte Berechnung des Lotfußpunkts

Sei $ g: \vec{x} = \vec{a} + t\vec{u} $. Der Lotfußpunkt hat die Form $ \vec{f} = \vec{a} + t_0\vec{u} $ mit:

$$t_0 = \frac{(\vec{p} – \vec{a}) \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|^2}$$

Dann ist $ \vec{f} = \vec{a} + t_0\vec{u} $ und der Spiegelpunkt $ \vec{p‘} = 2\vec{f} – \vec{p} $.

Beispiel

Spiegelung von $ P(4, 2, 1) $ an der Geraden $ g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} $.

Schritt 1: $ \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix} $. $ t_0 = \frac{\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}{1+1+0} = \frac{5}{2} $.

Lotfußpunkt: $ F = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + \frac{5}{2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{7}{2}\\\frac{5}{2}\\1\end{pmatrix} $.

Schritt 2: Spiegelpunkt: $ P‘ = 2F – P = \begin{pmatrix}7\\5\\2\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix} $.

Probe: $ F $ muss der Mittelpunkt von $ P $ und $ P‘ $ sein: $ \frac{1}{2}\begin{pmatrix}4+3\\2+3\\1+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{7}{2}\\\frac{5}{2}\\1\end{pmatrix} $ ✓. Und $ \overrightarrow{FP} \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = 0 $ ✓.

Unterschied zur Ebenenspiegelung

Während bei der Ebenenspiegelung das Lot eine Gerade ist (senkrecht zur Ebene), ist bei der Geradenspiegelung das Lot eine Verbindungsstrecke senkrecht zur Geraden. In beiden Fällen ist der Lotfußpunkt der Mittelpunkt zwischen Punkt und Spiegelbild. Der wesentliche Unterschied: Bei der Ebenenspiegelung bewegt sich der Punkt nur in einer Richtung (entlang des Normalenvektors), bei der Geradenspiegelung kann er sich in einer ganzen Ebene (senkrecht zur Geraden) bewegen.

Spiegelung von Objekten

Um eine Gerade, eine Ebene oder ein ganzes Dreieck an einer Geraden zu spiegeln, spiegelt man die definierenden Punkte einzeln und verbindet die Bildpunkte. Bei Geraden genügen zwei Punkte, bei Ebenen drei Punkte, bei Dreiecken die drei Eckpunkte.

Zusammenfassung

Die Spiegelung eines Punktes an einer Geraden im Raum erfordert zunächst die Bestimmung des Lotfußpunkts über die Orthogonalitätsbedingung und anschließend die Berechnung des Spiegelpunkts als „doppelter Lotweg“. Die Methode ist konzeptionell identisch zur Ebenenspiegelung, verwendet aber den Punkt-Gerade-Lotfußpunkt statt den Punkt-Ebene-Lotfußpunkt. Proben über Mittelpunkt- und Orthogonalitätsbedingung sichern die Korrektheit.