Spiegelung von Punkten an Ebenen

Grundprinzip

Bei der Spiegelung eines Punktes $ P $ an einer Ebene $ E $ wird der Punkt so auf die andere Seite der Ebene „geklappt“, dass die Ebene genau in der Mitte zwischen $ P $ und seinem Spiegelbild $ P‘ $ liegt. Der Lotfußpunkt $ F $ (die orthogonale Projektion von $ P $ auf die Ebene) ist der Mittelpunkt der Strecke $ \overline{PP‘} $.

Formal bedeutet dies:

$$\vec{f} = \frac{\vec{p} + \vec{p‘}}{2} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{p‘} = 2\vec{f} – \vec{p}$$

Der Spiegelpunkt ergibt sich also, indem man vom Punkt zum Lotfußpunkt geht und dann nochmal denselben Weg fortsetzt.

Schritt-für-Schritt-Vorgehen

Lotgerade aufstellen: Die Lotgerade durch $ P $ senkrecht zur Ebene hat den Richtungsvektor $ \vec{n} $ (Normalenvektor der Ebene): $ l: \vec{x} = \vec{p} + t\vec{n} $.
Lotfußpunkt bestimmen: Schnittpunkt von $ l $ mit $ E $ berechnen → ergibt $ F $ mit dem Parameter $ t_0 $.
Spiegelpunkt berechnen: $ \vec{p‘} = \vec{p} + 2t_0 \vec{n} $ (doppelt so weit wie bis zum Lotfußpunkt).

Beispiel

Spiegelung von $ P(5, 3, 1) $ an der Ebene $ E: 2x_1 – x_2 + 2x_3 = 6 $.

Schritt 1: Lotgerade: $ l: \vec{x} = \begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} $.

Schritt 2: Einsetzen in $ E $: $ 2(5+2t) – (3-t) + 2(1+2t) = 6 \Rightarrow 10+4t-3+t+2+4t = 6 \Rightarrow 9+9t = 6 \Rightarrow t_0 = -\frac{1}{3} $.

Lotfußpunkt: $ F = \begin{pmatrix}5-\frac{2}{3}\\3+\frac{1}{3}\\1-\frac{2}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{13}{3}\\\frac{10}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix} $.

Schritt 3: Spiegelpunkt: $ P‘ = \vec{p} + 2t_0\vec{n} = \begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix} + 2 \cdot (-\frac{1}{3})\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5-\frac{4}{3}\\3+\frac{2}{3}\\1-\frac{4}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{11}{3}\\\frac{11}{3}\\-\frac{1}{3}\end{pmatrix} $.

Probe: $ F $ muss der Mittelpunkt von $ P $ und $ P‘ $ sein: $ \frac{1}{2}(5 + \frac{11}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{26}{3} = \frac{13}{3} $ ✓.

Schnellformel

Den Spiegelpunkt kann man auch direkt berechnen, ohne den Lotfußpunkt explizit zu bestimmen:

$$\vec{p‘} = \vec{p} – 2 \cdot \frac{\vec{n} \cdot \vec{p} – d}{|\vec{n}|^2} \cdot \vec{n}$$

Der Ausdruck $ \frac{\vec{n} \cdot \vec{p} – d}{|\vec{n}|^2} $ ist gerade der Parameter $ t_0 $.

Spiegelung von Geraden und anderen Objekten

Um eine ganze Gerade an einer Ebene zu spiegeln, genügt es, zwei Punkte der Geraden zu spiegeln und durch die Bildpunkte eine neue Gerade zu legen. Alternativ spiegelt man den Stützpunkt und bestimmt den gespiegelten Richtungsvektor. Liegt die Gerade in der Ebene oder ist parallel zu ihr, ergeben sich Sonderfälle.

Zusammenfassung

Die Spiegelung eines Punktes an einer Ebene erfolgt in drei Schritten: Lotgerade aufstellen, Lotfußpunkt als Schnittpunkt berechnen, und den Spiegelpunkt als „doppelten Lotweg“ bestimmen. Die Schnellformel fasst dies in einem Ausdruck zusammen. Spiegelungen sind in der analytischen Geometrie eine Standardkonstruktion und werden für Geraden und andere Objekte durch Spiegelung einzelner Punkte realisiert.