Abstand Punkt–Ebene

Problemstellung

Der Abstand eines Punktes $ P $ von einer Ebene $ E $ ist die kürzeste Entfernung zwischen dem Punkt und der Ebene. Geometrisch entspricht dies der Länge des Lotes von $ P $ auf die Ebene – also der Strecke, die senkrecht auf der Ebene steht und $ P $ mit dem Lotfußpunkt $ F $ verbindet.

Formel mit der Hesseschen Normalform

Ist die Ebene in Koordinatenform $ E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d $ gegeben und $ P = (p_1, p_2, p_3) $ ein Punkt, so berechnet sich der Abstand als:

$$d(P, E) = \frac{|n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3 – d|}{|\vec{n}|} = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{p} – d|}{|\vec{n}|}$$

Diese Formel ergibt sich aus der Hesseschen Normalform der Ebene. Der Zähler setzt den Punkt in die Ebenengleichung ein (der Betrag sorgt für positive Abstände), und der Nenner normiert den Normalenvektor.

Beispiel: Abstand von $ P(3, 1, -2) $ zur Ebene $ E: 2x_1 – x_2 + 2x_3 = 6 $.

$$d = \frac{|2 \cdot 3 – 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) – 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|6 – 1 – 4 – 6|}{\sqrt{9}} = \frac{|-5|}{3} = \frac{5}{3}$$

Herleitung über die Projektion

Die Abstandsformel lässt sich geometrisch über die orthogonale Projektion herleiten. Der Verbindungsvektor $ \overrightarrow{QP} $ von einem beliebigen Ebenenpunkt $ Q $ zu $ P $ hat die Länge der Projektion auf den Normalenvektor als Abstandskomponente:

$$d(P, E) = \frac{|\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

Da $ \overrightarrow{QP} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{p} – \vec{n} \cdot \vec{q} = \vec{n} \cdot \vec{p} – d $, ergibt sich die obige Formel.

Der Lotfußpunkt

Neben dem Abstand ist oft auch der Lotfußpunkt $ F $ gefragt – der Punkt in der Ebene, der $ P $ am nächsten liegt. Man geht entlang des Normalenvektors vom Punkt aus bis zur Ebene:

$$\vec{f} = \vec{p} – \frac{\vec{n} \cdot \vec{p} – d}{|\vec{n}|^2} \cdot \vec{n}$$

Beispiel (Fortsetzung): $ \vec{n} = \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} $, $ \vec{n} \cdot \vec{p} – d = -5 $, $ |\vec{n}|^2 = 9 $.

$$\vec{f} = \begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix} – \frac{-5}{9}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{10}{9}\\-\frac{5}{9}\\\frac{10}{9}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{37}{9}\\\frac{4}{9}\\-\frac{8}{9}\end{pmatrix}$$

Probe: Abstand $ |PF| = \frac{5}{3} $ ✓ und $ F $ liegt in $ E $: $ 2 \cdot \frac{37}{9} – \frac{4}{9} + 2 \cdot (-\frac{8}{9}) = \frac{74-4-16}{9} = \frac{54}{9} = 6 $ ✓.

Vorzeichen und Lage

Ohne den Betrag im Zähler ergibt die Formel einen vorzeichenbehafteten Abstand. Das Vorzeichen gibt an, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt. Punkte auf derselben Seite wie der Normalenvektor ergeben positive Werte, Punkte auf der Gegenseite negative. Dies ist nützlich, um zu entscheiden, ob zwei Punkte auf derselben Seite einer Ebene liegen.

Abstand über die Lotgerade

Alternativ kann man die Lotgerade durch $ P $ senkrecht zur Ebene aufstellen ($ l: \vec{x} = \vec{p} + t\vec{n} $), deren Schnittpunkt mit der Ebene berechnen (das ist der Lotfußpunkt $ F $) und den Abstand als $ |PF| $ bestimmen. Dieser Weg ist länger, liefert aber automatisch den Lotfußpunkt mit und ist konzeptionell durchsichtig.

Zusammenfassung

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnet sich über die Hessesche Normalform durch Einsetzen der Punktkoordinaten in die Ebenengleichung und Division durch den Betrag des Normalenvektors. Der Lotfußpunkt ergibt sich durch Projektion entlang des Normalenvektors. Das Vorzeichen des nicht-betragsbereinigten Ausdrucks gibt die Seite der Ebene an. Die Abstandsformel ist eine der meistverwendeten Formeln der analytischen Geometrie und findet Anwendung bei Abständen paralleler Ebenen, Spiegelungen und Optimierungsproblemen.