Lagebeziehungen zweier Ebenen

Drei mögliche Lagebeziehungen

Zwei Ebenen im dreidimensionalen Raum können zueinander identisch, echt parallel oder schneidend sein. Im Schnittfall bildet die Schnittmenge stets eine Gerade – die Schnittgerade.

Untersuchung über Normalenvektoren

Gegeben seien zwei Ebenen in Koordinatenform:

$$E_1: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d_1 \quad \text{und} \quad E_2: m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 = d_2$$

Der erste Schritt ist der Vergleich der Normalenvektoren $ \vec{n}_1 $ und $ \vec{n}_2 $:

Normalenvektoren nicht parallel ($ \vec{n}_1 \neq r \cdot \vec{n}_2 $ für alle $ r $): Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden.
Normalenvektoren parallel ($ \vec{n}_2 = r \cdot \vec{n}_1 $): Prüfe, ob auch $ d_2 = r \cdot d_1 $ gilt.
- Ja: Die Ebenen sind identisch.
- Nein: Die Ebenen sind echt parallel.

Beispiel 1: Schneidende Ebenen

$ E_1: 2x_1 + x_2 – x_3 = 4 $ mit $ \vec{n}_1 = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} $ und $ E_2: x_1 – x_2 + 2x_3 = 1 $ mit $ \vec{n}_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} $.

Die Normalenvektoren sind nicht parallel (kein gemeinsames Vielfaches), also schneiden sich die Ebenen. Die Schnittgerade wird im nächsten Thema behandelt.

Beispiel 2: Parallele Ebenen

$ E_1: x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 5 $ und $ E_2: 2x_1 + 4x_2 – 6x_3 = 7 $.

$ \vec{n}_2 = 2\vec{n}_1 $, aber $ d_2 = 7 \neq 2 \cdot 5 = 10 $. Die Ebenen sind echt parallel.

Beispiel 3: Identische Ebenen

$ E_1: x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 5 $ und $ E_2: 3x_1 + 6x_2 – 9x_3 = 15 $.

$ \vec{n}_2 = 3\vec{n}_1 $ und $ d_2 = 15 = 3 \cdot 5 $. Die Ebenen sind identisch – sie beschreiben dieselbe Punktmenge.

Schnittwinkel zweier Ebenen

Schneiden sich zwei Ebenen, so wird der Schnittwinkel $ \gamma $ über die Normalenvektoren berechnet:

$$\cos(\gamma) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$

Der Betrag im Zähler liefert den spitzen Schnittwinkel. Für orthogonale Ebenen ist $ \gamma = 90° $, d. h. $ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 $.

Beispiel: Für die Ebenen aus Beispiel 1: $ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 – 1 – 2 = -1 $, $ |\vec{n}_1| = \sqrt{6} $, $ |\vec{n}_2| = \sqrt{6} $. Also $ \cos(\gamma) = \frac{1}{6} $, $ \gamma \approx 80{,}4° $.

Ebenenbüschel

Schneiden sich zwei Ebenen $ E_1 $ und $ E_2 $, so enthält das Ebenenbüschel alle Ebenen, die durch die gemeinsame Schnittgerade verlaufen. Jede solche Ebene lässt sich als Linearkombination der beiden Ebenengleichungen darstellen:

$$\lambda(n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 – d_1) + \mu(m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 – d_2) = 0$$

Durch geeignete Wahl von $ \lambda $ und $ \mu $ kann man eine Ebene des Büschels mit einer gewünschten Eigenschaft finden, z. B. eine Ebene durch einen gegebenen Punkt oder mit einem bestimmten Normalenvektor.

Abstand paralleler Ebenen

Sind $ E_1 $ und $ E_2 $ echt parallel mit $ \vec{n}_2 = r\vec{n}_1 $, so berechnet sich der Abstand über die Hessesche Normalform. Man wählt einen beliebigen Punkt auf $ E_1 $, z. B. indem man zwei Koordinaten null setzt und die dritte berechnet, und bestimmt dessen Abstand zu $ E_2 $:

$$d(E_1, E_2) = \frac{|d_2/r – d_1|}{|\vec{n}_1|}$$

Beispiel: $ E_1: x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 5 $, $ E_2: x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 12 $ (gleicher Normalenvektor). Abstand: $ \frac{|12 – 5|}{\sqrt{1+4+9}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1{,}87 $.

Zusammenfassung

Zwei Ebenen im Raum können identisch, echt parallel oder schneidend sein. Der Vergleich der Normalenvektoren entscheidet, ob Parallelität vorliegt. Im Schnittfall berechnet man den Schnittwinkel über die Normalenvektoren und die Schnittgerade über ein Gleichungssystem. Bei parallelen Ebenen lässt sich der Abstand über die Hessesche Normalform bestimmen. Das Ebenenbüschel beschreibt alle Ebenen durch eine gemeinsame Schnittgerade.