Lage von Gerade und Ebene

Drei mögliche Lagebeziehungen

Im dreidimensionalen Raum kann eine Gerade bezüglich einer Ebene drei verschiedene Lagen einnehmen: Die Gerade kann die Ebene in genau einem Punkt schneiden, sie kann parallel zur Ebene verlaufen (ohne sie zu berühren), oder sie kann vollständig in der Ebene liegen. Im letzten Fall hat die Gerade unendlich viele Punkte mit der Ebene gemeinsam.

Untersuchungsmethode mit Koordinatenform

Gegeben seien eine Gerade $ g: \vec{x} = \vec{p} + t\vec{u} $ und eine Ebene in Koordinatenform $ E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d $. Man setzt die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein:

$$n_1(p_1 + tu_1) + n_2(p_2 + tu_2) + n_3(p_3 + tu_3) = d$$

Auflösen nach $ t $:

$$t \cdot (\vec{n} \cdot \vec{u}) = d – \vec{n} \cdot \vec{p}$$

Je nach Ergebnis ergeben sich die drei Fälle:

Fall 1: $ \vec{n} \cdot \vec{u} \neq 0 $ → Es gibt genau eine Lösung für $ t $. Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt. Der Schnittpunkt ergibt sich durch Einsetzen von $ t $ in die Geradengleichung.
Fall 2: $ \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 $ und $ d – \vec{n} \cdot \vec{p} \neq 0 $ → Widerspruch, keine Lösung. Die Gerade ist echt parallel zur Ebene.
Fall 3: $ \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 $ und $ d – \vec{n} \cdot \vec{p} = 0 $ → Die Gleichung ist für alle $ t $ erfüllt. Die Gerade liegt in der Ebene.

Der Schlüssel ist das Skalarprodukt $ \vec{n} \cdot \vec{u} $: Es misst, ob der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene steht. Ist er es, verläuft die Gerade parallel zur Ebene (in ihr oder neben ihr).

Beispiel 1: Schnitt

Gerade $ g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} $, Ebene $ E: 2x_1 + x_2 – x_3 = 3 $.

Einsetzen: $ 2(1+t) + (0+t) – (2-t) = 3 \Rightarrow 2 + 2t + t – 2 + t = 3 \Rightarrow 4t = 3 \Rightarrow t = \frac{3}{4} $.

Schnittpunkt: $ S = \begin{pmatrix}1+\frac{3}{4}\\0+\frac{3}{4}\\2-\frac{3}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{7}{4}\\\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{pmatrix} $.

Beispiel 2: Parallel

Gerade $ g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix} $, Ebene $ E: x_1 + x_2 + x_3 = 5 $.

$ \vec{n} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 = -1 \neq 0 $. Also Schnitt! Korrigieren wir: Ebene $ E: 2x_1 – x_2 + 0 \cdot x_3 = 1 $. $ \vec{n} = \begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix} $, $ \vec{n} \cdot \vec{u} = 2 \cdot 1 + (-1)(-2) + 0 = 4 \neq 0 $. Nehmen wir $ \vec{u} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} $: $ \vec{n} \cdot \vec{u} = 2 – 2 = 0 $. Prüfe Stützpunkt: $ 2 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 2 \neq 1 $. Also echt parallel.

Schnittwinkel

Schneidet die Gerade die Ebene, so berechnet sich der Schnittwinkel $ \alpha $ zwischen Gerade und Ebene über:

$$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}$$

Steht die Gerade senkrecht auf der Ebene, ist $ \alpha = 90° $ und der Richtungsvektor ist parallel zum Normalenvektor. Liegt die Gerade in der Ebene oder ist parallel, ist $ \alpha = 0° $.

Durchstoßpunkt

Der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene wird auch als Durchstoßpunkt bezeichnet – die Gerade „durchstößt“ die Ebene. In Anwendungen ist dies z. B. der Punkt, an dem ein Lichtstrahl auf eine Oberfläche trifft, oder der Punkt, an dem eine Flugbahn eine Höhenebene schneidet.

Alternative Methode mit Parameterform der Ebene

Liegt die Ebene in Parameterform vor, setzt man die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich und erhält ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten ($ t, r, s $). Hat es eine eindeutige Lösung, schneiden sich Gerade und Ebene. Ist es unlösbar, sind sie parallel. Hat es unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in der Ebene.

Zusammenfassung

Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene wird durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung bestimmt. Das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor entscheidet, ob die Gerade die Ebene schneidet oder parallel zu ihr verläuft. Im Schnittfall liefert der berechnete Parameter den Durchstoßpunkt, und der Schnittwinkel ergibt sich über die Sinusformel. Die systematische Fallunterscheidung gehört zu den Standardaufgaben der analytischen Geometrie.