Aufgabe 4a)
Die Punkte \( Q_{a} \) liegen alle auf dem Graphen von \( f(x) \). Diese Darstellung wirkt kompliziert, ist aber eigentlich sehr einfach. Über den allgemeinen Ansatz \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} \) berechnen wir die Steigung der Geraden durch die Punkte P und \( Q_{a} \) in Abhängigkeit von a.
Man erhält das Kontrollergebis aus \( m = \frac{f(a)-2}{a-0}=\frac{\frac{1}{8}a^3-2}{a}=\frac{a^3-16}{8a} \). Durch das „Verschieben“ des \( \frac{1}{8} \) aus dem Zähler in den Nenner erhält man die angegebene Version.
An dieser Stelle erkennt man auch die Notwendigkeit, dass bei der Definitionsmenge für a der Wert Null ausgeschlossen wurde: Im Term von \( m \) würde der Nenner Null, wäre also nicht definiert. Anschaulich sieht man: die gesuchte Gerade würde dann senkrecht vom Punkt (0/0) zum Punkt (0/2) verlaufen, hätte also eine unendliche Steigung.
Aufgabe 4b)
Variante 1: Dass in Aufgabe 4a das Kontrollergebnis für \( m_{a} \) angegeben ist, ist ein Indiz dafür, mit dieser Größe zu arbeiten:
Der Ansatz lautet: Wann entspricht die beschriebene Tangente \( t_{a} \) der Geraden aus a. Ein dafür notwendiges Kritierium ist, dass die Steigung identisch ist. Die Steigung der Funktion ergibt sich aus \( f'(x)=\frac{3}{8}x^2 \).
Über den Ansatz \( \frac{3}{8}a^2 = \frac{a^3-16}{8a} \) erhält man mittels algebraischer Umformungen das Ergebnis \( a=-2 \).
Variante 2: Möchte man alternativ (und auch intuitiv) mit der allgemeinen Geradengleichung \( y=m\cdot x + t \) starten, so geht das auch, eine Lösung aber eher aufwändig:
Die Steigung der Geraden ist gegeben durch die Ableitung an der Stelle (a/f(a)): \( m_{a}=\frac{3}{8}a^2 \). Der Punkt \( Q_{a} \) hat die Koordinaten (a/f(a)). Für den y-Achsenabschnitt erhält man damit: \( \frac{1}{8}a^3 = \frac{3}{8}a^2 \cdot a + t\). Damit erhalten wir \( t=-\frac{2}{8}a^3 = -\frac{1}{4}a^3\).
Unsere Tangente soll durch P(0/2) verlaufen, daher setzen wir die Koordinaten in die Gleichung \(y = \frac{3}{8}a^2\cdot x – \frac{1}{4}a^3 \) ein: \( 2 = -\frac{1}{4}a^3\). Auch hier erhalten wir die Lösung \( a=-2 \).
Variante 1 ist etwas weniger intuitiv aber kürzer. Variante 2 ist dafür etwas länger und fehleranfälliger. Für beide Varianten erscheinen 3BE etwas knapp kalkuliert.