Parameterdarstellung von Geraden

Grundidee

Eine Gerade im dreidimensionalen Raum wird durch einen Stützpunkt (einen Punkt auf der Geraden) und einen Richtungsvektor (der die Richtung der Geraden angibt) festgelegt. Die Parameterdarstellung beschreibt jeden Punkt der Geraden als Funktion eines reellen Parameters $ t $:

$$g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Hierbei ist $ \vec{p} $ der Ortsvektor des Stützpunkts und $ \vec{u} \neq \vec{0} $ der Richtungsvektor. Für $ t = 0 $ erhält man den Stützpunkt selbst. Durch Variation von $ t $ über alle reellen Zahlen durchläuft $ \vec{x} $ jeden Punkt der Geraden genau einmal.

In Komponentenschreibweise mit $ \vec{p} = \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} $ und $ \vec{u} = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix} $:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p_1 + tu_1\\p_2 + tu_2\\p_3 + tu_3\end{pmatrix}$$

Aufstellen der Geradengleichung

Aus Stützpunkt und Richtungsvektor: Direkt einsetzen.

Aus zwei Punkten: Gegeben $ A $ und $ B $. Stützpunkt: $ \vec{p} = \vec{a} $ (Ortsvektor von $ A $). Richtungsvektor: $ \vec{u} = \overrightarrow{AB} = \vec{b} – \vec{a} $.

$$g: \vec{x} = \vec{a} + t(\vec{b} – \vec{a}), \quad t \in \mathbb{R}$$

Für $ t = 0 $ ist man bei $ A $, für $ t = 1 $ bei $ B $. Werte $ 0 < t < 1 $ liegen auf der Strecke $ \overline{AB} $.

Beispiel: $ A(1, 2, 3) $, $ B(4, 0, 1) $. Richtungsvektor: $ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix} $. Geradengleichung:

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}$$

Punktprobe

Um zu prüfen, ob ein Punkt $ Q $ auf einer Geraden liegt, setzt man seine Koordinaten in die Parameterdarstellung ein und prüft, ob sich für alle drei Gleichungen derselbe Parameterwert $ t $ ergibt.

Beispiel: Liegt $ Q(7, -2, -1) $ auf der obigen Geraden? $ 7 = 1 + 3t \Rightarrow t = 2 $. Prüfe: $ -2 = 2 + (-2) \cdot 2 = -2 $ ✓ und $ -1 = 3 + (-2) \cdot 2 = -1 $ ✓. Also liegt $ Q $ auf der Geraden (mit $ t = 2 $).

Nicht-Eindeutigkeit der Darstellung

Die Parameterdarstellung einer Geraden ist nicht eindeutig. Man kann einen anderen Stützpunkt wählen (jeden Punkt der Geraden) und den Richtungsvektor mit einer beliebigen Konstante $ r \neq 0 $ multiplizieren, ohne die Gerade zu ändern. Die Geraden $ \vec{x} = \vec{p} + t\vec{u} $ und $ \vec{x} = \vec{q} + s\vec{v} $ beschreiben dieselbe Gerade genau dann, wenn $ \vec{v} = r\vec{u} $ für ein $ r \neq 0 $ und $ \vec{q} $ auf der ersten Geraden liegt.

Spezielle Punkte auf der Geraden

Die Parameterdarstellung ermöglicht die einfache Berechnung spezieller Punkte: Der Mittelpunkt $ M $ der Strecke $ \overline{AB} $ hat den Parameter $ t = \frac{1}{2} $. Teilungspunkte im Verhältnis $ m:n $ erhält man mit $ t = \frac{m}{m+n} $. Punkte mit negativem $ t $ liegen „hinter“ dem Stützpunkt in entgegengesetzter Richtung.

Zusammenfassung

Die Parameterdarstellung beschreibt eine Gerade durch einen Stützpunkt und einen Richtungsvektor. Jeder Punkt der Geraden entspricht einem Parameterwert $ t $. Die Darstellung lässt sich aus zwei Punkten aufstellen und ermöglicht Punktproben, Teilpunktberechnungen und die Untersuchung von Lagebeziehungen. Sie ist das Standardwerkzeug der analytischen Geometrie zur Beschreibung von Geraden im Raum.