Betrag eines Vektors und Abstandsberechnung
Der Betrag eines Vektors
Der Betrag (oder die Länge, Norm) eines Vektors \( \vec{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} \) wird mit \( |\vec{a}| \) notiert und berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras in drei Dimensionen:
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$
Der Betrag gibt die Länge des Pfeils an, der den Vektor darstellt. Er ist stets nicht-negativ und nur für den Nullvektor gleich null. Im zweidimensionalen Fall (\( \mathbb{R}^2 \)) entspricht die Formel dem klassischen Satz des Pythagoras \( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \); im dreidimensionalen Fall wird der Pythagoras zweimal angewendet.
Beispiel: Für \( \vec{a} = \begin{pmatrix}3\\-4\\12\end{pmatrix} \) ist \( |\vec{a}| = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \).
Einheitsvektoren
Ein Einheitsvektor hat den Betrag 1. Zu jedem Vektor \( \vec{a} \neq \vec{0} \) existiert ein Einheitsvektor in dieselbe Richtung:
$$\vec{a}_0 = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$
Diesen Vorgang nennt man Normierung. Der Einheitsvektor behält die Richtung bei, hat aber die standardisierte Länge 1.
Beispiel: Für \( \vec{a} = \begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix} \) ist \( |\vec{a}| = 5 \), also \( \vec{a}_0 = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}6\\-0{,}8\\0\end{pmatrix} \).
Abstand zwischen zwei Punkten
Der Abstand zwischen zwei Punkten \( A(a_1, a_2, a_3) \) und \( B(b_1, b_2, b_3) \) ist der Betrag des Verbindungsvektors:
$$d(A, B) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$$
Dies ist die dreidimensionale Verallgemeinerung der Abstandsformel aus der ebenen Geometrie.
Beispiel: Für \( A(1, 2, 3) \) und \( B(4, 6, 3) \): \( d = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 \).
Dreiecksungleichung
Für alle Vektoren \( \vec{a}, \vec{b} \) gilt die Dreiecksungleichung:
$$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$$
Gleichheit gilt genau dann, wenn \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) in dieselbe Richtung zeigen. Geometrisch besagt dies, dass der direkte Weg (Summenvektor) nie länger ist als der Umweg über die Einzelvektoren. Der Name kommt daher, dass in einem Dreieck jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen Seiten.
Anwendungen der Abstandsformel
Umkreisradius: Der Abstand eines Punktes zum Mittelpunkt einer Kugel bestimmt, ob der Punkt innerhalb, auf oder außerhalb der Kugel liegt. Ein Punkt \( P \) liegt auf einer Kugel mit Mittelpunkt \( M \) und Radius \( r \) genau dann, wenn \( |MP| = r \).
Mittelpunktbestimmung: Der Mittelpunkt \( M \) einer Strecke \( \overline{AB} \) liegt genau auf halbem Weg: \( M = \frac{1}{2}(A + B) \), und es gilt \( |AM| = |MB| = \frac{1}{2}|AB| \).
Beispiel aus der Physik: Die Gravitationskraft zwischen zwei Massen hängt vom Quadrat ihres Abstands ab: \( F = G\frac{m_1 m_2}{d^2} \). Die Abstandsformel liefert \( d \) direkt aus den Koordinaten.
Abstandsberechnung mit dem Skalarprodukt
Der Betrag lässt sich auch über das Skalarprodukt ausdrücken: \( |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} \). Dies ist nützlich, wenn man den Abstand in Abhängigkeit von Parametern berechnen muss, da man das Quadrat \( |\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} \) oft leichter handhaben kann als die Wurzel.
Zusammenfassung
Der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an und berechnet sich über den dreidimensionalen Pythagoras. Einheitsvektoren haben die Länge 1 und entstehen durch Normierung. Der Abstand zweier Punkte ist der Betrag ihres Verbindungsvektors. Die Dreiecksungleichung setzt Beträge von Summen und Einzelvektoren in Beziehung. Die Abstandsformel ist das universelle Werkzeug für metrische Berechnungen im Raum und bildet die Grundlage für Kugeln, Abstände zu Geraden und Ebenen sowie viele physikalische Anwendungen.