Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

Definition

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) zweier Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ im $ \mathbb{R}^3 $ ist ein neuer Vektor, der senkrecht auf beiden steht:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2 \\ a_3 b_1 – a_1 b_3 \\ a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix}$$

Im Gegensatz zum Skalarprodukt, das eine Zahl liefert, ergibt das Kreuzprodukt einen Vektor. Dieser steht senkrecht auf der Ebene, die von $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ aufgespannt wird. Die Orientierung folgt der Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Zeigefinger in Richtung $ \vec{a} $ und der Mittelfinger in Richtung $ \vec{b} $, so zeigt der Daumen in Richtung $ \vec{a} \times \vec{b} $.

Beispiel: $ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot0-0\cdot1\\0\cdot0-1\cdot0\\1\cdot1-0\cdot0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} $. Das Kreuzprodukt der x- und y-Einheitsvektoren ist der z-Einheitsvektor.

Betrag des Kreuzprodukts

Der Betrag des Kreuzprodukts hat eine direkte geometrische Bedeutung:

$$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\varphi)$$

wobei $ \varphi $ der Winkel zwischen den Vektoren ist. Dieser Betrag ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ aufgespannt wird. Da $ \sin(\varphi) = 0 $ für parallele Vektoren, ist das Kreuzprodukt paralleler Vektoren der Nullvektor.

Beispiel: Für $ \vec{a} = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} $ und $ \vec{b} = \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix} $ ist $ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix} $, und $ |\vec{a} \times \vec{b}| = 6 $ – das ist der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten 2 und 3.

Rechenregeln

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: $ \vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) $. Das Vertauschen der Reihenfolge kehrt die Richtung um. Es ist nicht assoziativ: Im Allgemeinen gilt $ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) $. Es gelten die Distributivgesetze $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} $ und $ (r\vec{a}) \times \vec{b} = r(\vec{a} \times \vec{b}) $.

Wichtige Spezialfälle: $ \vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} $ (jeder Vektor ist zu sich selbst parallel) und $ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} $ und $ \vec{b} $ sind linear abhängig (parallel).

Anwendung: Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Eckpunkten $ A, B, C $ berechnet sich als:

$$A_{\triangle} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$$

Beispiel: Für $ A(1,0,0) $, $ B(0,2,0) $, $ C(0,0,3) $: $ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} $, $ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix} $. Kreuzprodukt: $ \begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix} $. Betrag: $ \sqrt{36+9+4} = 7 $. Flächeninhalt: $ \frac{7}{2} = 3{,}5 $ FE.

Anwendung: Normalenvektor

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in einer Ebene liegen, liefert einen Normalenvektor dieser Ebene. Dies ist fundamental für die Aufstellung von Ebenengleichungen in Normalform und für viele Abstandsberechnungen.

Spatprodukt

Das Spatprodukt dreier Vektoren ist definiert als $ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} $. Sein Betrag gibt das Volumen des Spats (Parallelepipeds) an, das von den drei Vektoren aufgespannt wird. Das Volumen eines Tetraeders (Dreieckspyramide) ist $ \frac{1}{6}|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| $. Ist das Spatprodukt null, liegen die drei Vektoren in einer Ebene.

Zusammenfassung

Das Kreuzprodukt ordnet zwei Vektoren im $ \mathbb{R}^3 $ einen neuen Vektor zu, der senkrecht auf beiden steht. Sein Betrag ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ und liefert den Nullvektor für parallele Vektoren. Es ist unverzichtbar für die Berechnung von Normalenvektoren, Flächeninhalten im Raum und Volumina. Zusammen mit dem Skalarprodukt bildet es das Grundwerkzeug der dreidimensionalen Vektorgeometrie.