Linearkombination und lineare Abhängigkeit

Linearkombination

Eine Linearkombination von Vektoren $ \vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_k $ ist ein Ausdruck der Form:

$$r_1 \vec{a}_1 + r_2 \vec{a}_2 + \cdots + r_k \vec{a}_k$$

wobei $ r_1, r_2, \dots, r_k \in \mathbb{R} $ beliebige reelle Zahlen (Koeffizienten) sind. Jeder Vektor, der sich so darstellen lässt, heißt Linearkombination der gegebenen Vektoren. Die Menge aller Linearkombinationen heißt lineare Hülle oder Aufspann der Vektoren.

Beispiel: Die Linearkombination $ 2\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} $. Der Vektor $ \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} $ ist also eine Linearkombination der beiden gegebenen Vektoren.

Geometrisch bedeutet dies: Durch Skalierung und Addition der Ausgangsvektoren lässt sich der Zielvektor „erreichen“. Die Linearkombination zweier nicht-paralleler Vektoren erzeugt eine Ebene, die eines einzelnen Vektors eine Gerade.

Lineare Abhängigkeit

Vektoren $ \vec{a}_1, \dots, \vec{a}_k $ heißen linear abhängig, wenn es Koeffizienten $ r_1, \dots, r_k $ gibt, die nicht alle null sind, sodass:

$$r_1 \vec{a}_1 + r_2 \vec{a}_2 + \cdots + r_k \vec{a}_k = \vec{0}$$

Anschaulich bedeutet lineare Abhängigkeit, dass mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist – er ist „überflüssig“ und fügt keine neue Richtung hinzu.

Vektoren heißen linear unabhängig, wenn die obige Gleichung nur für $ r_1 = r_2 = \cdots = r_k = 0 $ erfüllt ist. Linear unabhängige Vektoren zeigen in „wirklich verschiedene Richtungen“.

Spezialfälle

Zwei Vektoren: $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ sind genau dann linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: $ \vec{b} = r \cdot \vec{a} $ für ein $ r \in \mathbb{R} $. Geometrisch sind sie dann parallel (oder antiparallel). Zwei nicht-parallele Vektoren sind stets linear unabhängig.

Drei Vektoren im $ \mathbb{R}^3 $: Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen (koplanar sind). Drei linear unabhängige Vektoren spannen den gesamten $ \mathbb{R}^3 $ auf – jeder Vektor im Raum lässt sich als ihre Linearkombination schreiben.

Mehr als drei Vektoren im $ \mathbb{R}^3 $: Vier oder mehr Vektoren im $ \mathbb{R}^3 $ sind stets linear abhängig, da der Raum nur drei Dimensionen hat.

Prüfung auf lineare Abhängigkeit

Um zu prüfen, ob Vektoren linear abhängig sind, bildet man das Gleichungssystem $ r_1\vec{a}_1 + \cdots + r_k\vec{a}_k = \vec{0} $ und löst es. Hat das System nur die triviale Lösung $ r_1 = \cdots = r_k = 0 $, sind die Vektoren linear unabhängig. Gibt es eine nicht-triviale Lösung, sind sie abhängig.

Beispiel: Sind $ \vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} $, $ \vec{b} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} $, $ \vec{c} = \begin{pmatrix}1\\4\\5\end{pmatrix} $ linear abhängig? Man prüft: $ \vec{c} = 1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}1\\4\\5\end{pmatrix} $ ✓. Also ist $ \vec{c} $ Linearkombination von $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $, die Vektoren sind linear abhängig.

Alternativ kann man die Determinante der Matrix aus den drei Spaltenvektoren berechnen: Ist sie null, sind die Vektoren linear abhängig; ist sie ungleich null, sind sie linear unabhängig.

Basis und Dimension

Eine Basis des $ \mathbb{R}^3 $ ist ein System von drei linear unabhängigen Vektoren. Die Standardbasis besteht aus den Einheitsvektoren $ \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} $, $ \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} $, $ \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} $. Jeder Vektor $ \vec{v} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} $ lässt sich als $ v_1\vec{e}_1 + v_2\vec{e}_2 + v_3\vec{e}_3 $ schreiben – die Komponenten sind gerade die Koeffizienten der Linearkombination bezüglich der Standardbasis.

Zusammenfassung

Linearkombinationen erzeugen aus gegebenen Vektoren neue Vektoren durch Skalierung und Addition. Lineare Abhängigkeit bedeutet, dass mindestens ein Vektor überflüssig ist. Zwei Vektoren sind abhängig genau bei Parallelität, drei im $ \mathbb{R}^3 $ bei Koplanarität. Die Prüfung erfolgt über Gleichungssysteme oder Determinanten. Drei linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis des $ \mathbb{R}^3 $, mit der sich jeder Raumvektor eindeutig darstellen lässt.