Grenzwerte und L’Hôpital

Grenzwerte und die Regel von L’Hôpital

Der Grenzwertbegriff

Der Grenzwert einer Funktion beschreibt das Verhalten der Funktionswerte, wenn sich die Variable einer bestimmten Stelle oder dem Unendlichen nähert. Formal schreibt man $ \lim_{x \to x_0} f(x) = L $, wenn die Funktionswerte beliebig nahe an $ L $ herankommen, sofern $ x $ hinreichend nahe bei $ x_0 $ liegt. Der Grenzwert muss nicht gleich dem Funktionswert sein – die Funktion muss an der Stelle $ x_0 $ nicht einmal definiert sein.

Beispiel: $ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 $. Obwohl der Bruch bei $ x = 2 $ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert.

Unbestimmte Ausdrücke

Beim Berechnen von Grenzwerten treten häufig sogenannte unbestimmte Ausdrücke auf – Formen, bei denen das Ergebnis nicht ohne Weiteres erkennbar ist:

$ \frac{0}{0} $ — Zähler und Nenner gehen beide gegen null
$ \frac{\infty}{\infty} $ — Zähler und Nenner wachsen beide unbeschränkt
$ 0 \cdot \infty $, $ \infty – \infty $, $ 0^0 $, $ 1^\infty $, $ \infty^0 $

Diese Ausdrücke sind „unbestimmt“, weil das tatsächliche Ergebnis von der konkreten Funktion abhängt und jeden Wert annehmen kann. Zum Beispiel ergibt $ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 $, aber $ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0 $ und $ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \infty $ – alle vom Typ $ \frac{0}{0} $.

Die Regel von L’Hôpital

Die Regel von L’Hôpital bietet ein mächtiges Werkzeug zur Berechnung von Grenzwerten unbestimmter Formen vom Typ $ \frac{0}{0} $ oder $ \frac{\infty}{\infty} $:

Sind $ f $ und $ g $ differenzierbar, gilt $ \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 $ (oder beide $ \pm\infty $), und existiert $ \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $, dann gilt:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Man darf also Zähler und Nenner getrennt ableiten (nicht die Quotientenregel anwenden!) und den Grenzwert des neuen Quotienten berechnen. Die Regel kann bei Bedarf mehrfach angewendet werden.

Beispiele für Typ $ \frac{0}{0} $

Beispiel 1: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $. Typ $ \frac{0}{0} $. L’Hôpital: $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1 $.

Beispiel 2: $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} $. Typ $ \frac{0}{0} $. L’Hôpital: $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1 $.

Beispiel 3: $ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x^2 – 1} $. Typ $ \frac{0}{0} $. L’Hôpital: $ \lim_{x \to 1} \frac{3x^2}{2x} = \frac{3}{2} $. Alternativ: Kürzen mit $ (x-1) $ ergibt $ \frac{x^2+x+1}{x+1} \to \frac{3}{2} $.

Beispiele für Typ $ \frac{\infty}{\infty} $

Beispiel 4: $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} $. Typ $ \frac{\infty}{\infty} $. Erste Anwendung: $ \frac{2x}{e^x} $, immer noch $ \frac{\infty}{\infty} $. Zweite Anwendung: $ \frac{2}{e^x} = 0 $. Also: Jedes Polynom wächst langsamer als $ e^x $.

Beispiel 5: $ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} $. Typ $ \frac{\infty}{\infty} $. L’Hôpital: $ \frac{1/x}{1} = \frac{1}{x} \to 0 $. Der Logarithmus wächst langsamer als jede lineare Funktion.

Umformung anderer unbestimmter Typen

Formen wie $ 0 \cdot \infty $ oder $ \infty – \infty $ lassen sich oft auf $ \frac{0}{0} $ oder $ \frac{\infty}{\infty} $ umformen.

Beispiel ($ 0 \cdot \infty $): $ \lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln(x) $. Umschreiben als $ \frac{\ln(x)}{1/x} $, Typ $ \frac{-\infty}{\infty} $. L’Hôpital: $ \frac{1/x}{-1/x^2} = -x \to 0 $.

Wichtige Standardgrenzwerte

Einige Grenzwerte treten so häufig auf, dass man sie kennen sollte:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $
$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1 $
$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 $ für alle $ n $
$ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^a} = 0 $ für $ a > 0 $
$ \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 $

Zusammenfassung

Die Regel von L’Hôpital ist ein elegantes Werkzeug zur Berechnung von Grenzwerten unbestimmter Formen $ \frac{0}{0} $ und $ \frac{\infty}{\infty} $. Man leitet Zähler und Nenner getrennt ab und berechnet den Grenzwert des neuen Quotienten. Die Regel kann mehrfach angewendet werden und deckt nach Umformung auch andere unbestimmte Formen ab. Zusammen mit den Standardgrenzwerten bildet sie ein mächtiges Instrumentarium zur Grenzwertberechnung.