Extremwertaufgaben in angewandten Kontexten
Vom Sachkontext zum mathematischen Modell
Extremwertaufgaben in angewandten Kontexten verlangen, eine reale Fragestellung in ein mathematisches Modell zu übersetzen und dieses dann mit den Werkzeugen der Differentialrechnung zu lösen. Der entscheidende erste Schritt ist die Modellierung: Man identifiziert die relevanten Größen, stellt eine Zielfunktion auf und berücksichtigt alle gegebenen Einschränkungen. Die mathematische Optimierung ist dann oft der einfachere Teil.
Beispiel 1: Gewinnmaximierung
Ein Unternehmen verkauft ein Produkt zum Preis \( p \) Euro. Die Nachfragefunktion lautet \( q(p) = 500 – 10p \) (Stück). Die variablen Stückkosten betragen 5 Euro, die Fixkosten 2000 Euro.
Erlösfunktion: \( E(p) = p \cdot q(p) = p(500 – 10p) = 500p – 10p^2 \)
Kostenfunktion: \( K(p) = 5 \cdot q(p) + 2000 = 5(500 – 10p) + 2000 = 4500 – 50p \)
Gewinnfunktion: \( G(p) = E(p) – K(p) = 500p – 10p^2 – 4500 + 50p = -10p^2 + 550p – 4500 \)
Optimierung: \( G'(p) = -20p + 550 = 0 \Rightarrow p = 27{,}50 \) Euro. \( G“(p) = -20 < 0 \), also Maximum. Der maximale Gewinn beträgt \( G(27{,}5) = -10 \cdot 756{,}25 + 550 \cdot 27{,}5 - 4500 = 3062{,}50 \) Euro. Die zugehörige Absatzmenge ist \( q = 500 - 275 = 225 \) Stück.
Beispiel 2: Optimale Verpackung
Aus einem quadratischen Blech mit Seitenlänge \( a = 20 \) cm soll eine offene Schachtel gefaltet werden, indem an jeder Ecke ein Quadrat der Seitenlänge \( x \) ausgeschnitten und die Ränder hochgebogen werden. Welches \( x \) maximiert das Volumen?
Zielfunktion: \( V(x) = x \cdot (20 – 2x)^2 \) mit \( 0 < x < 10 \).
Ableitung: \( V(x) = x(400 – 80x + 4x^2) = 4x^3 – 80x^2 + 400x \).
$$V'(x) = 12x^2 – 160x + 400 = 4(3x^2 – 40x + 100) = 0$$
Lösungen: \( x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 – 1200}}{6} = \frac{40 \pm 20}{6} \), also \( x = 10 \) oder \( x = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \). Da \( x = 10 \) am Rand liegt (Volumen null), ist \( x = \frac{10}{3} \) die optimale Lösung mit \( V = \frac{10}{3} \cdot \left(\frac{40}{3}\right)^2 = \frac{16000}{27} \approx 592{,}6 \, \text{cm}^3 \).
Beispiel 3: Minimale Weglänge
Eine Ölpipeline soll von einem Punkt \( A \) auf einer Seite eines 3 km breiten Flusses zu einem Punkt \( B \) auf der anderen Seite geführt werden, der 5 km stromabwärts liegt. Die Kosten betragen 1 Million Euro pro km an Land und 2 Millionen Euro pro km unter dem Fluss. Wo sollte die Pipeline den Fluss überqueren?
Die Kostenfunktion ergibt sich aus der Landstrecke und der Unterwasserstrecke, wobei der Kreuzungspunkt \( x \) km stromabwärts gewählt wird. Die Unterwasserlänge beträgt \( \sqrt{9 + x^2} \) (Pythagoras), die verbleibende Landstrecke \( 5 – x \). Zielfunktion:
$$K(x) = 1 \cdot (5 – x) + 2\sqrt{9 + x^2}, \quad 0 \leq x \leq 5$$
Ableitung: \( K'(x) = -1 + \frac{2x}{\sqrt{9 + x^2}} = 0 \), also \( \frac{2x}{\sqrt{9 + x^2}} = 1 \), quadriert: \( 4x^2 = 9 + x^2 \), \( 3x^2 = 9 \), \( x = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \) km. Die optimale Kreuzung liegt also nicht senkrecht gegenüber, sondern stromabwärts verschoben.
Beispiel 4: Maximale Reichweite
Die Wurfweite eines Geschosses (ohne Luftwiderstand) als Funktion des Abwurfwinkels \( \alpha \) beträgt \( w(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \). Maximum bei \( 2\alpha = \frac{\pi}{2} \), also \( \alpha = 45° \). Dies zeigt, wie ein physikalisches Optimierungsproblem auf eine einfache trigonometrische Extremwertaufgabe führt.
Interpretation und Plausibilitätsprüfung
Nach der Berechnung sollte man stets prüfen, ob das Ergebnis sinnvoll ist: Sind die Maße positiv? Liegt der optimale Wert im erlaubten Bereich? Stimmt die Einheit? Ein kurzer Vergleich mit Randwerten oder benachbarten Werten gibt zusätzliche Sicherheit. Diese Überprüfung ist nicht nur mathematisch wichtig, sondern auch ein Zeichen für verantwortungsvolles Modellieren.
Zusammenfassung
Angewandte Extremwertaufgaben verbinden mathematische Modellierung mit Differentialrechnung. Der Schlüssel liegt im sauberen Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingungen aus dem Sachkontext. Typische Anwendungsfelder sind Gewinnmaximierung in der Wirtschaft, Materialoptimierung in der Technik, Kostenminimierung bei Infrastrukturprojekten und Reichweitenoptimierung in der Physik. Die Ergebnisse müssen stets im Sachkontext interpretiert und auf Plausibilität geprüft werden.