Stetigkeit und Differenzierbarkeit an Übergangsstellen

Vertiefung der Grundbegriffe

Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind zwei zentrale Eigenschaften von Funktionen, die an Übergangsstellen stückweiser Definitionen besonders sorgfältig geprüft werden müssen. Die folgende Hierarchie gilt allgemein: Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit, aber Stetigkeit impliziert nicht Differenzierbarkeit. An Übergangsstellen können alle Kombinationen auftreten – von glattem Übergang bis zur Sprungstelle.

Formale Definitionen

Stetigkeit: Eine Funktion $ f $ ist stetig an der Stelle $ x_0 $, wenn:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Dies bedeutet: Der Grenzwert existiert, der Funktionswert ist definiert, und beide stimmen überein. Ist eine der drei Bedingungen verletzt, ist die Funktion an dieser Stelle unstetig.

Differenzierbarkeit: Eine Funktion ist differenzierbar an $ x_0 $, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert:

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}$$

Bei stückweise definierten Funktionen prüft man dies über die einseitigen Ableitungen: Der linksseitige Grenzwert $ \lim_{h \to 0^-} $ muss mit dem rechtsseitigen $ \lim_{h \to 0^+} $ übereinstimmen.

Systematische Prüfung

An einer Übergangsstelle $ x_0 $ geht man in zwei Stufen vor:

Stufe 1: Stetigkeit prüfen

Berechne den linksseitigen Grenzwert: $ \lim_{x \to x_0^-} f(x) $
Berechne den rechtsseitigen Grenzwert: $ \lim_{x \to x_0^+} f(x) $
Berechne den Funktionswert $ f(x_0) $
Prüfe, ob alle drei übereinstimmen

Stufe 2: Differenzierbarkeit prüfen (nur falls stetig!)

Berechne die linksseitige Ableitung: $ \lim_{x \to x_0^-} f'(x) $
Berechne die rechtsseitige Ableitung: $ \lim_{x \to x_0^+} f'(x) $
Prüfe, ob beide übereinstimmen

Beispiel 1: Stetig und differenzierbar

$$f(x) = \begin{cases} x^3 & \text{falls } x \leq 0 \\ x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \cdot x & \text{falls } x > 0 \end{cases}$$

Einfacheres Standardbeispiel:

$$f(x) = \begin{cases} \sin(x) & \text{falls } x \leq 0 \\ x & \text{falls } x > 0 \end{cases}$$

Stetigkeit bei $ x = 0 $: $ \sin(0) = 0 $ und $ \lim_{x \to 0^+} x = 0 $ ✓. Ableitung links: $ \cos(0) = 1 $. Ableitung rechts: $ 1 $. Ableitungen stimmen überein, also ist $ f $ bei $ x = 0 $ differenzierbar mit $ f'(0) = 1 $.

Beispiel 2: Stetig, aber nicht differenzierbar

$$g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{falls } x \leq 1 \\ 2x – 1 & \text{falls } x > 1 \end{cases}$$

Stetigkeit bei $ x = 1 $: $ 1^2 = 1 $ und $ 2 \cdot 1 – 1 = 1 $ ✓. Ableitung links: $ 2 \cdot 1 = 2 $. Ableitung rechts: $ 2 $. Hier stimmen die Ableitungen sogar überein – $ g $ ist differenzierbar!

Ändern wir leicht ab: $ g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{falls } x \leq 1 \\ 3x – 2 & \text{falls } x > 1 \end{cases} $. Stetigkeit: $ 1 = 1 $ ✓. Ableitung links: $ 2 $. Ableitung rechts: $ 3 $. Nicht differenzierbar! Der Graph hat bei $ x = 1 $ einen Knick.

Beispiel 3: Nicht stetig (Sprungstelle)

$$h(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{falls } x < 2 \\ x^2 - 1 & \text{falls } x \geq 2 \end{cases}$$

Von links: $ \lim_{x \to 2^-} (x+1) = 3 $. Von rechts und als Funktionswert: $ h(2) = 4 – 1 = 3 $. Tatsächlich stimmen die Werte hier überein, also ist $ h $ stetig. Ableitung links: $ 1 $. Ableitung rechts: $ 2 \cdot 2 = 4 $. Nicht differenzierbar.

Parameterbestimmung für glatte Übergänge

Häufige Aufgabenstellung: Bestimme Parameter so, dass eine stückweise Funktion stetig und differenzierbar wird.

Beispiel: Für welche Werte von $ a $ und $ b $ ist

$$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 1 & \text{falls } x \leq 1 \\ bx + 2 & \text{falls } x > 1 \end{cases}$$

stetig und differenzierbar bei $ x = 1 $?

Stetigkeit: $ a + 1 = b + 2 \Rightarrow a – b = 1 $. Differenzierbarkeit: $ 2a = b $. Lösung: $ 2a = a – 1 \Rightarrow a = -1 $, $ b = -2 $. Probe: $ f(1) = 0 $, $ \lim_{x \to 1^+} (-2x + 2) = 0 $ ✓, Ableitungen: $ -2 = -2 $ ✓.

Anschauliche Interpretation

Stetigkeit bedeutet: Man kann den Graphen zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. Differenzierbarkeit bedeutet zusätzlich: Der Graph hat keinen Knick – er verläuft glatt, und man kann in jedem Punkt eine eindeutige Tangente anlegen. Ein Knick ist eine Stelle, an der der Graph eine abrupte Richtungsänderung vollzieht, ähnlich wie ein Wanderweg, der plötzlich abknickt.

Zusammenfassung

Stetigkeit und Differenzierbarkeit an Übergangsstellen werden in einem zweistufigen Verfahren geprüft: erst die Grenzwerte für Stetigkeit, dann die einseitigen Ableitungen für Differenzierbarkeit. Die Parameterbestimmung für glatte Übergänge führt auf ein lineares Gleichungssystem aus Stetigkeits- und Ableitungsbedingung. Differenzierbarkeit setzt Stetigkeit voraus, die Umkehrung gilt nicht. Knickstellen sind stetig, aber nicht differenzierbar – ein typisches Phänomen bei Betragsfunktionen und stückweisen Definitionen.