Stückweise definierte Funktionen

Was sind stückweise definierte Funktionen?

Eine stückweise definierte Funktion verwendet auf verschiedenen Teilintervallen ihres Definitionsbereichs unterschiedliche Funktionsvorschriften. Formal wird sie durch eine Fallunterscheidung angegeben:

$$f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{falls } x \in I_1 \\ f_2(x) & \text{falls } x \in I_2 \\ \vdots & \vdots \end{cases}$$

Die Intervalle $ I_1, I_2, \dots $ überdecken den gesamten Definitionsbereich und überlappen sich nicht. An den Übergangsstellen (den gemeinsamen Randpunkten benachbarter Intervalle) stellt sich die Frage nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit – dies ist das zentrale Thema bei der Analyse stückweiser Funktionen.

Beispiele aus der Praxis

Stückweise definierte Funktionen sind in der Praxis allgegenwärtig. Ein Mobilfunktarif könnte so aussehen: Die ersten 500 MB kosten 5 Euro, danach kostet jedes weitere MB 0,02 Euro. Die Kostenfunktion ist dann:

$$K(x) = \begin{cases} 5 & \text{falls } 0 \leq x \leq 500 \\ 5 + 0{,}02 \cdot (x – 500) & \text{falls } x > 500 \end{cases}$$

Weitere Beispiele: Einkommensteuertarife mit Progressionsstufen, Portogebühren, die in Gewichtsstufen gestaffelt sind, oder physikalische Modelle, in denen verschiedene Kräfte in verschiedenen Bereichen dominieren.

Stetigkeit an Übergangsstellen

Eine stückweise definierte Funktion ist an einer Übergangsstelle $ x_0 $ stetig, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen und gleich dem Funktionswert sind:

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$$

Beispiel: Ist die Funktion

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{falls } x \leq 1 \\ 2x – 1 & \text{falls } x > 1 \end{cases}$$

stetig bei $ x = 1 $? Von links: $ \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 $. Von rechts: $ \lim_{x \to 1^+} (2x-1) = 1 $. Funktionswert: $ f(1) = 1 $. Alle drei Werte stimmen überein, die Funktion ist stetig bei $ x = 1 $.

Gegenbeispiel: Bei $ g(x) = \begin{cases} x & \text{falls } x < 2 \\ x + 1 & \text{falls } x \geq 2 \end{cases} $ ist $ \lim_{x \to 2^-} g(x) = 2 $, aber $ g(2) = 3 $. Es liegt eine Sprungstelle vor, die Funktion ist bei $ x = 2 $ nicht stetig.

Differenzierbarkeit an Übergangsstellen

Stetigkeit ist notwendig, aber nicht hinreichend für Differenzierbarkeit. Zusätzlich müssen die linksseitige und rechtsseitige Ableitung übereinstimmen:

$$\lim_{x \to x_0^-} f'(x) = \lim_{x \to x_0^+} f'(x)$$

Für das obige Beispiel $ f $ prüfen wir: $ f_1′(x) = 2x \Rightarrow f_1′(1) = 2 $ und $ f_2′(x) = 2 \Rightarrow f_2′(1) = 2 $. Die Ableitungen stimmen überein, also ist $ f $ bei $ x = 1 $ auch differenzierbar. Die Funktion hat an der Übergangsstelle keinen Knick.

Gegenbeispiel: Betrachte $ h(x) = \begin{cases} x^2 & \text{falls } x \leq 1 \\ 3x – 2 & \text{falls } x > 1 \end{cases} $. Stetigkeit: $ h(1) = 1 $, $ \lim_{x \to 1^+} (3x-2) = 1 $ ✓. Ableitung links: $ 2 \cdot 1 = 2 $. Ableitung rechts: $ 3 $. Die Ableitungen stimmen nicht überein, also ist $ h $ bei $ x = 1 $ zwar stetig, aber nicht differenzierbar – es liegt ein Knick vor.

Konstruktion stetiger und glatter Übergänge

In Anwendungen möchte man häufig Teilfunktionen so zusammensetzen, dass der Übergang „glatt“ ist, also stetig und differenzierbar. Dazu stellt man an der Übergangsstelle $ x_0 $ zwei Bedingungen auf: Gleichheit der Funktionswerte und Gleichheit der Ableitungen. Dies ergibt ein Gleichungssystem für die freien Parameter.

Beispiel: Bestimme $ a $ und $ b $ so, dass

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{falls } x \leq 2 \\ bx + 1 & \text{falls } x > 2 \end{cases}$$

bei $ x = 2 $ stetig und differenzierbar ist. Stetigkeit: $ 4 + a = 2b + 1 $. Differenzierbarkeit: $ 2 \cdot 2 = b $, also $ b = 4 $. Einsetzen: $ 4 + a = 9 \Rightarrow a = 5 $.

Heaviside-Funktion und Sprungfunktionen

Die einfachste stückweise definierte Funktion ist die Heaviside-Funktion (Sprungfunktion): $ H(x) = 0 $ für $ x < 0 $ und $ H(x) = 1 $ für $ x \geq 0 $. Sie springt bei $ x = 0 $ von 0 auf 1 und ist dort nicht stetig. Sprungfunktionen modellieren abrupte Änderungen, etwa das Ein- oder Ausschalten einer Maschine. Durch Translation und Skalierung lassen sich daraus komplexere stückweise konstante Funktionen zusammensetzen.

Zusammenfassung

Stückweise definierte Funktionen verwenden auf verschiedenen Intervallen verschiedene Funktionsvorschriften. An den Übergangsstellen muss separat geprüft werden, ob Stetigkeit und Differenzierbarkeit vorliegen. Stetigkeit erfordert die Übereinstimmung der ein- und beidseitigen Grenzwerte mit dem Funktionswert; Differenzierbarkeit zusätzlich die Übereinstimmung der einseitigen Ableitungen. Durch geeignete Wahl der Parameter lassen sich glatte Übergänge konstruieren. Stückweise definierte Funktionen sind in praktischen Anwendungen wie Tarifen, Steuermodellen und physikalischen Modellen allgegenwärtig.