Differenzialgleichungen – Trennung der Variablen
Was ist eine Differenzialgleichung?
Eine Differenzialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen auftreten. Im Gegensatz zu algebraischen Gleichungen, deren Lösung eine Zahl ist, ist die Lösung einer DGL eine Funktion. Differenzialgleichungen sind das zentrale mathematische Werkzeug zur Beschreibung zeitabhängiger Prozesse in den Naturwissenschaften.
Eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung hat die allgemeine Form:
$$y‘ = f(x, y)$$
Gesucht ist eine Funktion \( y(x) \), die diese Gleichung erfüllt. In vielen schulrelevanten Fällen hat die DGL die spezielle Form \( y‘ = g(x) \cdot h(y) \), bei der sich die rechte Seite als Produkt einer Funktion von \( x \) und einer Funktion von \( y \) schreiben lässt. Solche DGLs lassen sich durch Trennung der Variablen lösen.
Methode: Trennung der Variablen
Bei der Trennung der Variablen bringt man alle Ausdrücke mit \( y \) auf die eine und alle Ausdrücke mit \( x \) auf die andere Seite. Formal:
$$y‘ = g(x) \cdot h(y) \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{h(y)} = g(x) \, dx$$
Dann integriert man beide Seiten:
$$\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx + C$$
Die Integrationskonstante \( C \) wird durch eine Anfangsbedingung \( y(x_0) = y_0 \) festgelegt.
Beispiel 1: Exponentielles Wachstum
Die DGL \( y‘ = 3y \) (mit \( g(x) = 3 \) und \( h(y) = y \)) wird durch Trennung gelöst:
$$\frac{dy}{y} = 3 \, dx \quad \Rightarrow \quad \int \frac{1}{y} \, dy = \int 3 \, dx \quad \Rightarrow \quad \ln|y| = 3x + C_1$$
Auflösen nach \( y \): \( |y| = e^{3x + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{3x} \). Mit \( C = \pm e^{C_1} \) ergibt sich die allgemeine Lösung \( y(x) = C \cdot e^{3x} \). Die Anfangsbedingung \( y(0) = 5 \) liefert \( C = 5 \), also \( y(x) = 5e^{3x} \).
Beispiel 2: Abkühlung
Das Newton’sche Abkühlungsgesetz mit Umgebungstemperatur \( T_U = 20 \) und Abkühlkonstante \( \lambda = 0{,}1 \):
$$T‘ = -0{,}1 \cdot (T – 20)$$
Substitution \( u = T – 20 \), also \( u‘ = T‘ = -0{,}1u \):
$$\frac{du}{u} = -0{,}1 \, dt \quad \Rightarrow \quad \ln|u| = -0{,}1t + C_1 \quad \Rightarrow \quad u = C \cdot e^{-0{,}1t}$$
Rücksubstitution: \( T(t) = 20 + C \cdot e^{-0{,}1t} \). Mit \( T(0) = 90 \) folgt \( C = 70 \), also \( T(t) = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}1t} \).
Beispiel 3: Beschränktes Wachstum
Die DGL \( y‘ = k(S – y) \) mit Sättigungsgrenze \( S \) wird ebenfalls durch Trennung gelöst:
$$\frac{dy}{S – y} = k \, dx \quad \Rightarrow \quad -\ln|S – y| = kx + C_1 \quad \Rightarrow \quad S – y = C \cdot e^{-kx}$$
Also \( y(x) = S – C \cdot e^{-kx} \). Mit \( y(0) = y_0 \) folgt \( C = S – y_0 \), und die Lösung lautet \( y(x) = S – (S – y_0) \cdot e^{-kx} \).
Beispiel 4: Nichtlineares Beispiel
Die DGL \( y‘ = xy^2 \):
$$\frac{dy}{y^2} = x \, dx \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{y} = \frac{x^2}{2} + C \quad \Rightarrow \quad y = \frac{-1}{\frac{x^2}{2} + C} = \frac{-2}{x^2 + 2C}$$
Mit \( y(0) = 1 \): \( 1 = \frac{-2}{2C} \Rightarrow C = -1 \), also \( y(x) = \frac{2}{2 – x^2} \). Diese Lösung existiert nur für \( |x| < \sqrt{2} \) – ein Hinweis darauf, dass DGL-Lösungen nur auf einem begrenzten Intervall gültig sein können.
Anfangswertprobleme und Eindeutigkeit
Eine DGL zusammen mit einer Anfangsbedingung \( y(x_0) = y_0 \) heißt Anfangswertproblem. Unter milden Voraussetzungen (Satz von Picard-Lindelöf) besitzt ein solches Problem genau eine Lösung in einer Umgebung von \( x_0 \). Die allgemeine Lösung einer DGL erster Ordnung enthält eine freie Konstante; die Anfangsbedingung legt diese Konstante fest und wählt damit eine konkrete Lösungskurve aus der Schar aller Lösungen aus.
Zusammenfassung
Die Trennung der Variablen ist die wichtigste elementare Lösungsmethode für Differenzialgleichungen der Form \( y‘ = g(x) \cdot h(y) \). Man separiert die Variablen auf verschiedene Seiten und integriert. Die Integrationskonstante wird durch eine Anfangsbedingung bestimmt. Die Methode liefert die Lösungen für exponentielles Wachstum, Zerfall, beschränktes Wachstum und viele weitere Modelle. Sie ist ein zentrales Werkzeug der mathematischen Modellierung.