Wachstums- und Zerfallsprozesse (e-Funktion)
Exponentielles Wachstum
Viele Prozesse in Natur, Technik und Wirtschaft folgen dem Prinzip: Die momentane Änderungsrate einer Größe ist proportional zum aktuellen Bestand. Mathematisch formuliert lautet diese Aussage:
$$f'(t) = k \cdot f(t)$$
Dies ist eine Differentialgleichung, deren Lösung die Exponentialfunktion ist:
$$f(t) = f_0 \cdot e^{kt}$$
Dabei ist \( f_0 = f(0) \) der Anfangswert und \( k \) die Wachstumskonstante. Ist \( k > 0 \), spricht man von exponentiellem Wachstum; ist \( k < 0 \), von exponentiellem Zerfall (auch Abklingen genannt). Die Euler’sche Zahl \( e \) taucht hier ganz natürlich auf, weil die Exponentialfunktion die einzige Funktion ist, die proportional zu sich selbst wächst.
Beispiel: Bakterienwachstum
Eine Bakterienkolonie verdoppelt sich alle 3 Stunden. Zu Beginn sind 500 Bakterien vorhanden. Gesucht ist der Bestand nach \( t \) Stunden.
Die Verdopplungszeit \( T_2 = 3 \) liefert die Wachstumskonstante: Aus \( 2 = e^{k \cdot 3} \) folgt \( k = \frac{\ln(2)}{3} \approx 0{,}231 \). Die Bestandsfunktion lautet:
$$N(t) = 500 \cdot e^{0{,}231 \cdot t}$$
Nach 12 Stunden: \( N(12) = 500 \cdot e^{2{,}772} \approx 500 \cdot 16 = 8000 \) Bakterien (vier Verdopplungen). Die Verdopplungszeit lässt sich allgemein berechnen als \( T_2 = \frac{\ln(2)}{k} \).
Exponentieller Zerfall
Beim exponentiellen Zerfall nimmt eine Größe proportional zu ihrem aktuellen Wert ab. Die Lösung ist dieselbe Formel mit negativem \( k \):
$$f(t) = f_0 \cdot e^{-\lambda t}$$
wobei \( \lambda = |k| > 0 \) die Zerfallskonstante ist. Der wichtigste Kennwert ist die Halbwertszeit \( T_{1/2} \), nach der sich der Bestand halbiert hat:
$$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$$
Beispiel: Radioaktiver Zerfall
Jod-131 hat eine Halbwertszeit von etwa 8 Tagen. Von einer Anfangsmenge von 100 mg sind nach \( t \) Tagen noch vorhanden:
$$m(t) = 100 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{8} \cdot t} = 100 \cdot 2^{-t/8}$$
Nach 24 Tagen (drei Halbwertszeiten): \( m(24) = 100 \cdot 2^{-3} = 12{,}5 \) mg. Nach jeder Halbwertszeit ist nur noch die Hälfte des vorherigen Bestands übrig. Der Zerfall wird nie vollständig abgeschlossen – theoretisch ist immer ein Rest vorhanden, der asymptotisch gegen null strebt.
Abkühlung nach Newton
Ein weiteres Beispiel für exponentiellen Zerfall ist die Abkühlung eines Körpers. Nach dem Newton’schen Abkühlungsgesetz ist die Temperaturdifferenz zur Umgebungstemperatur \( T_U \) exponentiell abklingend:
$$T(t) = T_U + (T_0 – T_U) \cdot e^{-\lambda t}$$
Hierbei ist \( T_0 \) die Anfangstemperatur. Ein heißer Kaffee mit \( T_0 = 90°\text{C} \) in einem Raum mit \( T_U = 20°\text{C} \) und \( \lambda = 0{,}05 \, \text{min}^{-1} \) hat nach 10 Minuten die Temperatur \( T(10) = 20 + 70 \cdot e^{-0{,}5} \approx 20 + 42{,}5 = 62{,}5°\text{C} \).
Beschränktes Wachstum
In der Realität kann exponentielles Wachstum nicht unbegrenzt andauern. Eine natürliche Erweiterung ist das beschränkte Wachstum (auch: begrenztes oder gesättigtes Wachstum), bei dem eine Sättigungsgrenze \( S \) existiert:
$$f'(t) = k \cdot (S – f(t))$$
Die Lösung lautet:
$$f(t) = S – (S – f_0) \cdot e^{-kt}$$
Die Funktion nähert sich asymptotisch der Schranke \( S \). Typische Anwendungen: Lernkurven (man nähert sich einer maximalen Leistung), Aufheizen eines Körpers (Annäherung an die Umgebungstemperatur von unten), Medikamentenspiegel im Blut bei regelmäßiger Einnahme.
Graphen und Vergleich der Wachstumstypen
Exponentielles Wachstum erzeugt eine nach oben immer steiler werdende Kurve. Exponentieller Zerfall erzeugt eine Kurve, die von oben gegen die Asymptote abklingt. Beschränktes Wachstum erzeugt eine S-förmige Annäherung an die Sättigungsgrenze von unten. In allen drei Fällen ist die Änderungsrate am Anfang am größten und nimmt dann ab (beim Zerfall und beschränkten Wachstum) bzw. nimmt zu (beim unbeschränkten exponentiellen Wachstum).
Zusammenfassung
Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall werden durch die Differentialgleichung \( f‘ = k \cdot f \) beschrieben und haben die Lösung \( f(t) = f_0 \cdot e^{kt} \). Die Kenngrößen Verdopplungszeit und Halbwertszeit sind über \( \ln(2)/|k| \) berechenbar. Beschränktes Wachstum modelliert die Annäherung an eine Sättigungsgrenze. Diese drei Modelle bilden das Fundament für die mathematische Beschreibung natürlicher Veränderungsprozesse.