Eine Funktion ist umkehrbar, wenn es zu jedem Wert y=f(x) genau ein x gibt. Dies trifft insbesondere auf alle Funktionen zu, die streng monoton verlaufen. Nachdem die Aufgabe den Operator „Zeigen Sie“ verwendet, ist ein rechnerischer Nachweis nötig.
Bilde dazu die erste Ableitung von f(x). Vergiss beim Ableiten das Nachdifferenzieren nicht. Die Ableitungsfunktion ist das Produkt einer Exponentialfunktion und dem Faktor 2. Für die Umkehrbarkeit muss nachgewiesen werden, dass die Ableitung entweder nur positive oder nur negative Werte für alle x der Definitionsmenge annimmt. In diesem Fall ist der erste Faktor stets >0.
Beachte, dass dieser Nachweis nur dann so kurz ist, weil die Funktion keine Definitionslücken aufweist. Bei gebrochen rationalen Funktionen oder bei Funktionen mit Wurzeltermen ist die Überprüfung teilweise aufwendiger. Hier solltest die einzelnen Abschnitte des Definitionsbereich getrennt auf Monotonie durch Verwendung der ersten Ableitung untersuchen und abschließend prüfen, ob durch ggf. vorhandene Sprungstellen die Ableitung als Kriterium für die Monotonie ausreichend ist.
Die Bildung der Umkehrfunktion ist hier in wenigen Schritten möglich. Das „Auflösen“ der Exponentialfunktion durch den natürlichen Logarithmus ln(x) ist erst dann möglich, wenn die Exponentialfunktion isoliert auf einer Seite der Gleichung steht. In diesem Fall ist dies bereits ohne weitere Umformung der Fall.
Zu Beginn werden x und y vertauscht. Dieser Schritt wäre auch Ende der Rechnung möglich. Es hat sich jedoch bewährt, erst zu tauschen, da danach das Auflösen nach x sich gewohnter anfühlt, als eine Gleichung nach y aufzulösen.
Wende nun den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an. Rechts entfällt damit die Exponentialfunktion und der Exponent bleibt übrig. Links bleibt die Logarithmusfunktion ln erhalten.
Löse die Gleichung nach den bekannten Regeln nach y auf, so dass du die Umkehrfunktion in seiner finalen Version bestimmt hast.