Integrationsregeln: Partielle Integration und Substitution
Warum brauchen wir weitere Techniken?
Die einfachen Integrationsregeln (Faktor- und Summenregel) reichen nur für Summen elementarer Funktionen aus. Sobald Produkte verschiedener Funktionstypen oder zusammengesetzte Funktionen auftreten, benötigen wir mächtigere Werkzeuge. Die zwei wichtigsten fortgeschrittenen Techniken sind die partielle Integration (Umkehrung der Produktregel) und die Substitution (Umkehrung der Kettenregel).
Partielle Integration
Die partielle Integration ergibt sich aus der Produktregel rückwärts. Aus \( (u \cdot v)‘ = u‘ \cdot v + u \cdot v‘ \) folgt durch Integrieren beider Seiten:
$$\int u'(x) \cdot v(x) \, dx = u(x) \cdot v(x) – \int u(x) \cdot v'(x) \, dx$$
Die Idee: Man wählt einen Faktor als \( v \) (der abgeleitet wird) und den anderen als \( u‘ \) (der integriert wird), sodass das neue Integral \( \int u \cdot v‘ \, dx \) einfacher ist als das ursprüngliche. Die Kunst liegt in der geschickten Wahl von \( u‘ \) und \( v \).
Faustregel: Als \( v \) wählt man den Faktor, der sich durch Ableiten vereinfacht (z. B. Polynome, \( \ln(x) \), \( \arctan(x) \)). Als \( u‘ \) wählt man den Faktor, der leicht integrierbar ist (z. B. \( e^x \), \( \sin(x) \), \( \cos(x) \)).
Beispiel 1: \( \int x \cdot e^x \, dx \). Wähle \( v = x \) und \( u‘ = e^x \), also \( v‘ = 1 \) und \( u = e^x \):
$$\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x – \int e^x \cdot 1 \, dx = x \cdot e^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C$$
Beispiel 2: \( \int \ln(x) \, dx \). Man schreibt \( \ln(x) = 1 \cdot \ln(x) \) und wählt \( v = \ln(x) \), \( u‘ = 1 \):
$$\int \ln(x) \, dx = x \cdot \ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \cdot \ln(x) – x + C = x(\ln(x) – 1) + C$$
Beispiel 3 – Doppelte partielle Integration: \( \int x^2 \cdot e^x \, dx \). Erste Anwendung mit \( v = x^2 \), \( u‘ = e^x \):
$$x^2 e^x – \int 2x \cdot e^x \, dx$$
Das verbleibende Integral ist gerade das aus Beispiel 1. Also:
$$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x – 2(xe^x – e^x) + C = e^x(x^2 – 2x + 2) + C$$
Integration durch Substitution
Die Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel. Wenn sich ein Integral in der Form \( \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx \) schreiben lässt, kann man die Substitution \( u = g(x) \) durchführen. Mit \( du = g'(x) \, dx \) vereinfacht sich das Integral zu:
$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$
Nach der Integration wird \( u = g(x) \) wieder zurücksubstituiert.
Beispiel 1: \( \int 2x \cdot e^{x^2} \, dx \). Substitution: \( u = x^2 \), \( du = 2x \, dx \):
$$\int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$$
Beispiel 2: \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \). Substitution: \( u = x^2 + 1 \), \( du = 2x \, dx \), also \( x \, dx = \frac{du}{2} \):
$$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C$$
Beispiel 3: \( \int \sin^3(x) \cdot \cos(x) \, dx \). Substitution: \( u = \sin(x) \), \( du = \cos(x) \, dx \):
$$\int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4(x)}{4} + C$$
Erkennen der richtigen Methode
Die Entscheidung zwischen partieller Integration und Substitution hängt von der Struktur des Integranden ab. Ein Produkt aus Polynom und Exponential-/Trigonometrischer Funktion deutet auf partielle Integration hin. Ein zusammengesetzter Ausdruck, bei dem die „innere Ableitung“ (oder ein Vielfaches davon) als Faktor auftritt, deutet auf Substitution hin. Manchmal muss man beide Techniken kombinieren oder mehrfach anwenden.
Zusammenfassung
Die partielle Integration verwandelt ein Produktintegral in ein (hoffentlich einfacheres) Integral und ist die Umkehrung der Produktregel. Die Substitution vereinfacht Integrale zusammengesetzter Funktionen und ist die Umkehrung der Kettenregel. Beide Techniken erfordern Übung im Erkennen der passenden Struktur. Zusammen mit den Grundregeln decken sie den allergrößten Teil der schulrelevanten Integrale ab.