Kreis in da Koordinatenebene: Gleichung, Mittelpunkt, Radius

Da Kreis is a Grundobjekt vo da analytischn Geometrie. Er losst si durch Mittelpunkt und Radius vollständig bschreibn, und seine Gleichung zoagt den Satz vom Pythagoras in ana besonders elegantn Form. Im bayerischn Abitur taucht da Kreis in da Koordinatenebene bei Schnittpunktaufgabn mit Gradn, bei Tangentnberechnunga und bei geometrischn Modellierunga auf. Aa in 3D wead d’Idee (dann Kugl) direkt übertrogn. Wer d’Kreisgleichung sicher interpretieren ko, hod an bwährtn Einstieg in d’Analytische Geometrie.

Kreisgleichung

A Kreis in da Ebene mit Mittelpunkt \(M(a, b)\) und Radius \(r\) bsteht aus olle Punkte \(P(x, y)\) mit \(|PM| = r\). Des übersetzt si noch Pythagoras zu:

\((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\).

Des is d’Standardform vo da Kreisgleichung.

Sunderfoi: Mittelpunkt im Ursprung: \(x^2 + y^2 = r^2\).

Beispui: Kreis mit \(M(2, -1)\), \(r = 5\). Gleichung: \((x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\).

Allgmoane Form

Durchs Ausmultiplizieren kriagt ma d’allgmoane Form:

\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)

mit \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = a^2 + b^2 – r^2\).

Aus da allgmoanen Form ko ma Mittelpunkt und Radius mit quadratischa Ergänzung zrug gwinna.

Beispui: Allgmoane Form

Gebm: \(x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0\).

Quadratische Ergänzung: \(x^2 – 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 12 + 4 + 9 = 25\). Oiso \((x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\). Mittelpunkt \(M(2, -3)\), Radius \(r = 5\).

Visualisierung

Punkt-Kreis-Lag

Wenn ma wissn mog, ob a Punkt \(P(x_0, y_0)\) innahoib, außahoib oder auf’m Kreis liegt, setzt ma ein:

\((x_0 – a)^2 + (y_0 – b)^2 = r^2\): auf’m Kreis.

\((x_0 – a)^2 + (y_0 – b)^2 < r^2[/latex]: innahoib.

[latex](x_0 – a)^2 + (y_0 – b)^2 > r^2\): außahoib.

Beispui: Kreis \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 25\) und Punkt \(P(4, 6)\). \((4-1)^2 + (6-2)^2 = 9 + 16 = 25\). Auf’m Kreis.

Schnittpunkt Kreis – Gradn

Um Schnittpunkt zum bstimma, setzt ma d’Gradengleichung in d’Kreisgleichung ein und löst d’resultierende quadratische Gleichung.

Beispui: Kreis \(x^2 + y^2 = 25\), Gradn \(y = x + 1\). Einsetzn: \(x^2 + (x+1)^2 = 25 \Rightarrow 2x^2 + 2x – 24 = 0 \Rightarrow x^2 + x – 12 = 0\). Lösunga: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -4\). Schnittpunkte: \((3, 4)\) und \((-4, -3)\).

D’Anzoih vo Schnittpunkte (olso d’Diskriminante) gibt Auskunft über d’Lage vo da Gradn:

Zwoa Lösunga: Gradn is Sekante (schneidet Kreis).

Oane Lösung: Gradn is Tangente (berührt Kreis).

Koa Lösung: Gradn liegt außahoib.

Tangente an am Kreis

A Tangente berührt den Kreis in genau am Punkt, genannt Berührpunkt. Se steht senkrecht auf’m Radius im Berührpunkt.

Tangente in am Punkt \(P_0(x_0, y_0)\) am Kreis \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\): \((x_0 – a)(x – a) + (y_0 – b)(y – b) = r^2\).

Beispui: Kreis \(x^2 + y^2 = 25\), Berührpunkt \(P_0(3, 4)\). Tangente: \(3x + 4y = 25\).

Obstand Kreis – Gradn

Obstand vom Kreismittelpunkt \(M\) zua Gradn \(g\). Ma vagleicht mit’m Radius.

\(d(M, g) > r\): Gradn außahoib.

\(d(M, g) = r\): Tangente.

\(d(M, g) < r[/latex]: Sekante.

Beispui: Kreis [latex]x^2 + y^2 = 9\) und Gradn \(3x + 4y = 25\). \(M = (0, 0)\), \(r = 3\). Obstand: \(|25|/\sqrt{9+16} = 25/5 = 5\). Größer ois \(3\), oiso Gradn außahoib.

Kreis durch drei Punkte

Durch drei ned-kolineare Punkte geht genau a Kreis. Ma findt Mittelpunkt ois Schnittpunkt vo de Mittelsenkrechten.

Alternativ: Ansatz mit allgmoanna Kreisgleichung \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). Drei Punkte einsetzn ergibt drei lineare Gleichunga in \(D\), \(E\), \(F\).

Beispui: Punkte \((1, 2)\), \((3, 4)\), \((5, 2)\). Einsetzn:

\(1 + 4 + D + 2E + F = 0 \Rightarrow D + 2E + F = -5\) \(9 + 16 + 3D + 4E + F = 0 \Rightarrow 3D + 4E + F = -25\) \(25 + 4 + 5D + 2E + F = 0 \Rightarrow 5D + 2E + F = -29\)

Gleichungssystem lösn: \(D = -6\), \(E = -2\), \(F = 5\). Kreisgleichung: \(x^2 + y^2 – 6x – 2y + 5 = 0\). Quadratische Ergänzung: \((x-3)^2 + (y-1)^2 = 5\). \(M = (3, 1)\), \(r = \sqrt{5}\).

Kreis und Pythagoras

D’Kreisgleichung is nix anders ois Pythagoras in Koordinatnform. A Punkt auf’m Kreis hod Obstand \(r\) zum Mittelpunkt. De \(x\)– und \(y\)-Differenzn bilden Kathetn, da Obstand is d’Hypotenus: \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\).

Awendung: Bewegung auf am Kreis

A Punkt, der auf am Kreis vom Radius \(r\) um’m Ursprung mit konstanta Winkelgschwindigkeit \(\omega\) umläuft, hod d’Koordinaten: \(P(t) = (r \cos(\omega t), r \sin(\omega t))\).

Prüfung: \(x^2 + y^2 = r^2 \cos^2(\omega t) + r^2 \sin^2(\omega t) = r^2\). Passt.

Kreis in da Physik

Planetnbahnen, Satellitnbahnen, Zykloidn — Kreisbewegunga san allgegnwärtig in da Natur. Aa wenn Planetnbahnen strengenommen Ellipsen san, approximiert man se oft mit Kreisen.

Sehne und Sekantnsatz

Zwoa Sehnen durch an gmoansamen Punkt innahoib vom Kreis: ’s Produkt vo de Sehnenobschnitte is gleich. Des is da Sehnensatz.

\(a \cdot b = c \cdot d\) mit de Obschnitt.

Analog Sekantensatz für äußere Punkte: \(s_1 \cdot s_2 = t^2\) mit Tangentnläng \(t\).

Kreisgleichung schreibn ohne Mitte

Wenn d’Kreisgleichung in allgmoana Form gebm is und ma Mitte und Radius sucht, macht ma quadratische Ergänzung.

Beispui: \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 3 = 0\). Ergänzung: \((x-3)^2 – 9 + (y+2)^2 – 4 – 3 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16\). \(M(3, -2)\), \(r = 4\).

Awendung: Ortskurve

Bstimm d’Menge olla Punkte, de vo zwoa festn Punkten \(A\) und \(B\) den gleichn Obstand hamm (Mittelsenkrechte).

Mit \(A(-3, 0)\), \(B(3, 0)\): \((x+3)^2 + y^2 = (x-3)^2 + y^2 \Rightarrow 12x = 0 \Rightarrow x = 0\). D‘\(y\)-Achse is d’Mittelsenkrechte.

A andras Beispui: Ortskurve olla Punkte, de vo \(A(-3, 0)\) und \(B(3, 0)\) den Obstandssumm \(10\) hamm, is a Ellipse.

Häufige Fehla

Fehla 1: Bei da allgmoana Form \(r^2\) und \(F\) direkt vagleichn. Richtig is \(F = a^2 + b^2 – r^2\).

Fehla 2: Vorzeichnfehla in da quadratischn Ergänzung.

Fehla 3: Bei Schnittpunktberechnunga d’Lösunga ned in beide Koordinaten übatrogn.

Fehla 4: Tangente und Sekante vawechsln.

Fazit

D’Kreisgleichung \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) is a direkte Konsequenz vom Satz vom Pythagoras. Mit ihr losst si jeda Kreis vollständig bschreibn. Schnittpunkt- und Tangentnberechnunga san Standardaufgabn in da Koordinatengeometrie. Mit quadratischa Ergänzung ko ma zwischn da allgmoana Form und da Standardform wechseln. Im bayerischn Abitur ist d’Kreisgleichung a klassisches Thema, und in 3D wead daraus d’Kugelgleichung. Mit am sicherm Umgang mit Kreisen hod ma ’s Fundament für de räumliche Geometrie glegt. D’Vabindung vo Geometrie und Algebra, de in da Kreisgleichung so schön sichtbar wead, is ’s Herzstück vo da analytischn Geometrie.