Koordinatengeometrie in da Ebene: Mittelpunkt, Obstand, Steigung

D’Koordinatengeometrie, aa analytische Geometrie gnannt, vabindet Geometrie und Algebra. Jeda geometrische Punkt wead durch sei Koordinatnpaar bstimmt, und geometrische Aussagn lassen si ois algebraische Gleichunga formulieren. Im bayerischn Abitur is d’Koordinatengeometrie in zwoa (und drei) Dimensionen a zentrala Baustoa. Obstand und Mittelpunkt vo Streckn sowie d’Steigung vo Gradn san d’Grundwerkzeig, ohne de koa analytisches Geometrieproblem glöst wean ko.

Punkte und Koordinaten

A Punkt in da Ebene wead durch sei Koordinatnpaar \(P(x, y)\) eindeutig bstimmt. \(x\) is d’horizontale, \(y\) d’vertikale Koordinate.

Da Ursprung (Schnittpunkt vo \(x\)– und \(y\)-Achse) is \(O(0, 0)\).

D’Ebene wead durch de zwoa Achsn in viere Quadrantn zerlegt:

I: \(x > 0\), \(y > 0\).

II: \(x < 0[/latex], [latex]y > 0\).

III: \(x < 0[/latex], [latex]y < 0[/latex].

IV: [latex]x > 0\), \(y < 0[/latex].

Obstand vo zwoa Punkt

Da Obstand zwischn [latex]P_1(x_1, y_1)\) und \(P_2(x_2, y_2)\) berechnet si mit Pythagoras:

\(d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\).

Herleitung: ’s Dreieck mit Eckpunktn \(P_1\), \(P_2\) und am Hüifspunkt \((x_2, y_1)\) is rechtwinklig. Kathetn: \(\Delta x\) und \(\Delta y\). Hypotenus: da gsuachte Obstand.

Beispui: \(P_1(1, 2)\), \(P_2(4, 6)\). \(d = \sqrt{9 + 16} = 5\).

Mittelpunkt ana Strecke

Da Mittelpunkt \(M\) vo da Strecke \(\overline{P_1 P_2}\) hod d’Koordinaten:

\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\).

De Formeln san intuitiv: Da Mittelwert vo de \(x\)-Koordinatn gibt d‘\(x\)-Koordinate vom Mittelpunkt, gnauso für \(y\).

Beispui: \(P_1(2, 3)\), \(P_2(8, 7)\). \(M = (5, 5)\).

Steigung ana Gradn

D’Steigung \(m\) vo da Gradn durch \(P_1(x_1, y_1)\) und \(P_2(x_2, y_2)\):

\(m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\) (wenn \(x_1 \neq x_2\)).

Für \(x_1 = x_2\) is d’Gradn senkrecht, d’Steigung ned definiert.

Beispui: \(P_1(1, 2)\), \(P_2(4, 8)\). \(m = 6/3 = 2\).

Visualisierung

Parallel und senkrecht

Zwoa Gradn san parallel, wenn se d’gleiche Steigung hamm: \(m_1 = m_2\).

Zwoa Gradn san senkrecht aufeinand, wenn \(m_1 \cdot m_2 = -1\).

Sunderfoi: A horizontale Gradn (\(m = 0\)) und a senkrechte Gradn (Steigung ned definiert) stenga senkrecht aufeinand. Dees ko d’Bedingung \(m_1 m_2 = -1\) ned direkt erfassn, is aba logisch.

Gleichung ana Gradn

Normalform: \(y = mx + t\) mit Steigung \(m\) und \(y\)-Achsnobschnitt \(t\).

Punktn-Steigungs-Form: \(y – y_0 = m(x – x_0)\) für Gradn durchn Punkt \((x_0, y_0)\) mit Steigung \(m\).

Zwoa-Punkte-Form: Gradn durch \(P_1\) und \(P_2\): \(\frac{y – y_1}{x – x_1} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\).

Beispuirechnung

Find d’Gleichung vo da Gradn durch \(P_1(1, 3)\) und \(P_2(4, 9)\).

Steigung: \(m = (9-3)/(4-1) = 2\). Mit \(P_1\): \(y – 3 = 2(x – 1) \Rightarrow y = 2x + 1\).

Kolineare Punkte

Drei Punkte san kolinear (liegn auf ana Gradn), wenn d’Steigunga vo zwoa aufeinanderfoignde Paaren gleich sei.

Beispui: Liegn \(P_1(1, 2)\), \(P_2(3, 6)\), \(P_3(5, 10)\) auf ana Gradn?

Steigung \(P_1 P_2\): \(m = 4/2 = 2\). Steigung \(P_2 P_3\): \(m = 4/2 = 2\). Gleich, oiso kolinear.

Awendung: Schnittpunkt vo zwoa Gradn

Zwoa Gradn \(y = m_1 x + t_1\) und \(y = m_2 x + t_2\) schneidn si bei \(m_1 x + t_1 = m_2 x + t_2\), oiso \(x = (t_2 – t_1)/(m_1 – m_2)\) (wenn \(m_1 \neq m_2\)).

Beispui: \(y = 2x + 1\) und \(y = -x + 7\). Schnitt: \(2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow x = 2\). \(y = 5\). Schnittpunkt \((2, 5)\).

Obstand Punkt – Gradn

Da Obstand vo am Punkt \(P(x_0, y_0)\) zua Gradn \(ax + by + c = 0\):

\(d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).

Des is d’hessesche Normalform-Darstellung.

Beispui: Obstand vo \(P(2, 3)\) zua Gradn \(3x + 4y – 5 = 0\). \(d = |6 + 12 – 5|/\sqrt{9+16} = 13/5 = 2{,}6\).

Awendung: Lag vo Punkten

Mit Obstandsformeln ko ma prüfn, ob a Punkt innahoib oder außahoib vo ana geometrischn Figur liegt, oder ob drei Punkte a Dreieck bildn.

Beispui: Prüf, ob \(P(3, 4)\) innahoib vom Kreis um \(O\) mit \(r = 5\) liegt. Obstand \(P\) zu \(O\): \(\sqrt{9 + 16} = 5\). Liegt auf’m Kreis.

Dreieck in Koordinaten

Dreieck mit Eckpunktn \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\). Fläch:

\(A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)|\).

Beispui: \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\), \(C(0, 3)\). Rechtwinkligs Dreieck. \(A = 0{,}5 \cdot |0 + 4 \cdot 3 + 0| = 6\). Passt (Kathetn \(4\) und \(3\), Fläch \(6\)).

Teilungsvahältnis

Wenn a Punkt \(P\) d’Strecke \(\overline{AB}\) im Vahältnis \(k : (1-k)\) teilt, dann \(P = (1-k)A + kB\), oiso komponentnweis \(P = (1-k)(x_A, y_A) + k(x_B, y_B)\).

Beispui: \(A(0, 0)\), \(B(6, 9)\). Punkt teilt Strecke im Vahältnis \(2 : 1\) vo \(A\) aus, oiso \(k = 2/3\). \(P = (1/3)(0,0) + (2/3)(6, 9) = (4, 6)\).

Anwendung: Schwerpunkt vo am Dreieck

Da Schwerpunkt (Schnittpunkt vo de Seitenhoibiernden) hod d’Koordinaten: \(S = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\).

Also da Mittelwert vo olle drei Eckpunktn.

Beispui: Dreieck \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\), \(C(0, 3)\). Schwerpunkt: \((2, 1)\).

Awendung: Mittelsenkrechte

D’Mittelsenkrechte vo ana Strecke \(\overline{AB}\) is d’Menge olla Punkte, de vo \(A\) und \(B\) den gleichn Obstand hamm. Se geht durchn Mittelpunkt \(M\) und steht senkrecht auf \(\overline{AB}\).

Beispui: \(A(0, 0)\), \(B(4, 2)\). \(M = (2, 1)\). Steigung \(AB\) = \(1/2\). Steigung da Senkrechten: \(-2\). Gleichung: \(y – 1 = -2(x – 2) \Rightarrow y = -2x + 5\).

Awendung: Kreis vo drei Punktn

Durch drei ned-kolineare Punkte geht genau a Kreis. Seine Mitte is da Schnittpunkt vo de drei Mittelsenkrechte. Sei Radius is da Obstand vo da Mitte zu oam Punkt.

Häufige Fehla

Fehla 1: \(\Delta y / \Delta x\) und \(\Delta x / \Delta y\) vawechsln.

Fehla 2: Bei Obständn d’Wurzl vagessn.

Fehla 3: Beim Mittelpunkt d’Koordinaten addieren, aba ned durch \(2\) teiln.

Fehla 4: Senkrechtbedingung \(m_1 + m_2 = 0\) statt \(m_1 m_2 = -1\).

Fazit

D’Grundwerkzeig Obstand, Mittelpunkt und Steigung san de Bausteine jeda analytischa Geometrie. Mit eana kann ma Gradn bschreibn, Schnittpunkte berechna, Senkrechtbeziehunga nachweisn und Flächn bstimma. Im Abitur san de Formeln ubiquitär. Ihre Vallgmoanerung in de drei Dimensionen mit Vektoren baut direkt darauf auf. A sicha beherrschts Basis in da ebenen Koordinatengeometrie erleichtert den Sprung zu Raumgeometrie erheblich.