Sinussatz und Kosinussatz im allgmoanen Dreieck

D’Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck is d’Grundlag, aba in vui realen Situationen hod ma ned-rechtwinklige Dreieck. Dafür gibt’s zwoa mächtige Sätz: den Sinussatz und den Kosinussatz. Zam erlaubn se, jeds Dreieck zum bstimma, wenn drei seina sechs Stück (drei Seitn, drei Winkl) bekannt san. Im bayerischn Abitur kemman de Sätz bei Navigationsaufgabn, Landvamessung und Geometrieproblemen zum Einsatz. Wea se beherrscht, ko jede Dreiecksgeometrie knacka.

Bezeichnungskonvention

In am Dreieck \(ABC\) bezeichnet ma d’Seitn mit kloane Buchstabn, und zwar d’Seitn gegnüber vom jeweiligen Eckpunkt. \(a\) gegnüber \(A\), \(b\) gegnüber \(B\), \(c\) gegnüber \(C\). D’Winkl an de Eckpunkt hoaßn \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\).

Winkelsumm: \(\alpha + \beta + \gamma = 180°\) (oder \(\pi\) im Bogenmaß).

Da Sinussatz

In jedem Dreieck güit:

\(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R\)

wobei \(R\) da Radius vom Umkreis is.

Des bedeutet: ’s Vahältnis vo da Seitnläng zum Sinus vom gegnüberliegnden Winkl is in am Dreieck konstant.

Awendung vom Sinussatz

Da Sinussatz is nützlich, wenn ma hod:

Zwoa Winkl und a Seitn (WSW oder WWS).

Zwoa Seitn und an Winkl gegnüber vo ana vo de zwoa Seitn (SSW — Vorsicht vor Mehrdeutigkeit).

Beispui WSW: Gebm san \(\alpha = 40°\), \(\beta = 70°\), \(c = 10\) cm. Bstimm \(a\) und \(b\).

\(\gamma = 180° – 40° – 70° = 70°\).

\(\frac{a}{\sin(40°)} = \frac{10}{\sin(70°)} \Rightarrow a = \frac{10 \sin(40°)}{\sin(70°)} \approx 6{,}84\) cm.

\(\frac{b}{\sin(70°)} = \frac{10}{\sin(70°)} \Rightarrow b = 10\) cm (logisch, weil \(\beta = \gamma\)).

Da Kosinussatz

In jedem Dreieck güit:

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos(\alpha)\) \(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cdot \cos(\beta)\) \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot \cos(\gamma)\)

Des is a Vallgmoanerung vom Satz vom Pythagoras. Bei \(\alpha = 90°\) is \(\cos(90°) = 0\), und ma kriagt \(a^2 = b^2 + c^2\), oiso Pythagoras.

Awendung vom Kosinussatz

Da Kosinussatz is nützlich, wenn ma hod:

Drei Seitn (SSS) → Winkl berechna.

Zwoa Seitn und eingschlossnen Winkl (SWS) → dritte Seitn berechna.

Beispui SWS: Gebm \(b = 5\), \(c = 7\), \(\alpha = 60°\). Bstimm \(a\).

\(a^2 = 25 + 49 – 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(60°) = 74 – 70 \cdot 0{,}5 = 74 – 35 = 39\).

\(a = \sqrt{39} \approx 6{,}24\).

Beispui SSS: Gebm \(a = 4\), \(b = 5\), \(c = 6\). Bstimm \(\alpha\).

Ausm Kosinussatz: \(16 = 25 + 36 – 60 \cos(\alpha) \Rightarrow 60 \cos(\alpha) = 45 \Rightarrow \cos(\alpha) = 0{,}75 \Rightarrow \alpha = \arccos(0{,}75) \approx 41{,}4°\).

Visualisierung

Wann welcher Satz?

WWS oder WSW → Sinussatz.

SSS oder SWS → Kosinussatz.

SSW → Sinussatz (mit Vorsicht wegn miaglicher Mehrdeutigkeit).

Oft braucht ma beide Sätz nachenand. Zum Beispui: SSS mit Kosinussatz an Winkl, dann mit Sinussatz den nächstn Winkl.

Mehrdeutigkeit bei SSW

Bei SSW (zwoa Seitn und a Winkl ned zwischn de beidn) ko’s zwoa Dreiecke gebm. Beispui: \(a = 4\), \(b = 3\), \(\alpha = 30°\).

\(\frac{4}{\sin(30°)} = \frac{3}{\sin(\beta)} \Rightarrow \sin(\beta) = \frac{3 \cdot 0{,}5}{4} = 0{,}375\). \(\beta \approx 22°\) oder \(\beta \approx 158°\).

Beide ko güitn, je nach Kombination. Bei \(\beta = 158°\) und \(\alpha = 30°\) wär Winkelsumm \(188° > 180°\), oiso unzulässig. Aa bloß \(\beta = 22°\) miaglich.

Allgmoan muaß ma prüfn, ob d’Winkelsumm \(< 180°[/latex] bleibt.

Awendung: Navigation

A Schiff fohrt vo Hafn [latex]A\) unter am Kurs vo \(60°\) (Nord-Ost). Noch \(10\) km ändat es den Kurs auf \(120°\) (Süd-Ost). Noch weitere \(15\) km is’s in \(B\). Wia weit is \(B\) vo \(A\) entfernt? Welchen Kurs muaß man vo \(A\) direkt noch \(B\) nehma?

Da Winkelännerung \(60°\) bedeutet, da Innenwinkl am Umlenkpunkt is \(180° – 60° = 120°\). Ma hod SWS: Seitn \(10\), \(15\) mit eingschlossnem Winkl \(120°\).

\(AB^2 = 100 + 225 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos(120°) = 325 + 150 = 475 \Rightarrow AB \approx 21{,}79\) km.

Kurs zum bstimma mit Sinussatz.

Awendung: Landvamessung

Klassisches Problem: Obstand zwischn zwoa unzugängliche Punkt bstimma. Man misst a Basis und zwoa Winkl.

Beispui: Basis \(AB = 100\) m. Winkl vo \(A\) aus zum Punkt \(C\): \(\alpha = 50°\). Winkl vo \(B\) aus zum Punkt \(C\): \(\beta = 65°\). Bstimm \(AC\) und \(BC\).

\(\gamma = 180° – 50° – 65° = 65°\). Mit Sinussatz: \(AC = \frac{100 \sin(65°)}{\sin(65°)} = 100\), \(BC = \frac{100 \sin(50°)}{\sin(65°)} \approx 84{,}5\).

Flächninhoit vom Dreieck

Mit zwoa Seitn und eingschlossnem Winkl: \(A = \frac{1}{2} a b \sin(\gamma)\).

Beispui: \(a = 5\), \(b = 8\), \(\gamma = 30°\). \(A = 0{,}5 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0{,}5 = 10\).

A Vallgmoanerung vo da klassischen Formel \(A = \frac{1}{2} \text{Grundseitn} \cdot \text{Höh}\).

Heronsche Formel

Wenn bloß d’Seitn gebm san: \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) mit \(s = (a+b+c)/2\) (hoiber Umfang).

Beispui: \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 5\). \(s = 6\). \(A = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6\).

Paßt mit da Fläch vom rechtwinkligen Dreieck mit Kathetn \(3\) und \(4\): \(A = 3 \cdot 4 / 2 = 6\).

Awendung: Höh vo am Berg

Vo zwoa Punkt \(A\) und \(B\) auf ana Gradn (Obstand \(AB = 500\) m) sigt ma an Berg vo da Höh \(h\). Vo \(A\) unter am Steigungswinkl \(30°\), vo \(B\) unter \(45°\). Bstimm \(h\).

Do hod ma a ned-rechtwinkligs Dreieck in da Vertikalebene. Mit Sinus- und Kosinussatz losst si \(h\) berechna.

Herleitung: Warum güit da Kosinussatz?

Fäll vom Eckpunkt \(C\) ’s Lot auf d’Seitn \(c\). ’s Lot trifft \(c\) in am Punkt \(H\). Dann güit in da Teildreieck \(ACH\): \(AH = b \cos(\alpha)\), \(CH = b \sin(\alpha)\). Im Dreieck \(BCH\): \(BH = c – b \cos(\alpha)\). Pythagoras: \(a^2 = BH^2 + CH^2 = (c – b \cos \alpha)^2 + (b \sin \alpha)^2 = c^2 – 2bc \cos \alpha + b^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha\).

Häufige Fehla

Fehla 1: Falsche Zuordnung vo Seitn und Winkl. Oiwei überprüfen, welche Seitn welcha Winkl gegnüberliegt.

Fehla 2: Bei SSW d’Mehrdeutigkeit übersehen.

Fehla 3: Kosinussatz mit Pythagoras vawechsln. Pythagoras güit bloß für rechtwinklige Dreieck.

Fehla 4: Vorzeichen beim Kosinus vagessn. \(\cos(120°) = -0{,}5\), ned \(+0{,}5\).

Fazit

Da Sinussatz und Kosinussatz vavollständigen d’Trigonometrie für olle Dreieck. Mit drei Stück (Seitn oder Winkl) kann jeds Dreieck eindeutig bstimmt wean (außa bei bstimmtn SSW-Situationen). In da Navigation, Landvamessung und Geometrie spuin de Sätz a zentrale Roin. In Vabindung mit de Winkelfunktionen aus’m rechtwinkligen Dreieck hod ma a komplettes Werkzeig für olle trigonometrischn Berechnunga. Im Abitur san se Standardwerkzeig für komplexere geometrische Aufgabn.