Transformationen vo Funktionen: Strecka, Staucha, Vaschiebn, Spiegln
Transformationen vo Funktionen san oane vo de elegantestn Techniken, um aus ana bekanntn Funktion neie zum erzeugn. Staats komplette Kurvendiskussionen für jede Variante zum führn, dakennt ma ’s Grundmuster und interpretiert d’Parameter ois geometrische Operationen: Vaschiebung, Spiegelung, Streckung oder Stauchung. Im bayerischn Abitur wean so Transformationen oft in Frogstellunga vo da Art „Wia entsteht \(g\) aus \(f\)?“ thematisiert. Wea d’Operationen sicha beherrscht, spart vui Arbeit und vasteht d’Geometrie hinter da Formel.
Überblick vo de Transformationen
Aus ana gebnen Funktion \(f(x)\) lassen si vaschiedne Varianten erzeugn:
Vertikale Vaschiebung: \(f(x) + c\) vaschiebt den Graphn um \(c\) noch obn (für \(c > 0\)) oder noch untn (für \(c < 0[/latex]).
Horizontale Vaschiebung: [latex]f(x – c)\) vaschiebt den Graphn um \(c\) noch rechts (für \(c > 0\)) oder noch links (für \(c < 0[/latex]).
Vertikale Streckung/Stauchung: [latex]c \cdot f(x)\) streckt den Graphn in \(y\)-Richtung um Faktor \(|c|\) (für \(|c| > 1\)) oder staucht eahm (für \(|c| < 1[/latex]). Is [latex]c < 0[/latex], kimmt zusätzlich a Spiegelung an da [latex]x[/latex]-Achse dazua.
Horizontale Streckung/Stauchung: [latex]f(c \cdot x)\) staucht den Graphn in \(x\)-Richtung um Faktor \(|c|\) (für \(|c| > 1\)) oder streckt eahm (für \(|c| < 1[/latex]). Is [latex]c < 0[/latex], zusätzlich Spiegelung an da [latex]y[/latex]-Achse.
Spiegelung an da [latex]x\)-Achse: \(-f(x)\).
Spiegelung an da \(y\)-Achse: \(f(-x)\).
Vertikale Vaschiebung
D’oafachste Transformation. Zu jedem Funktionswert wead a Konstant plusgrechnet.
Beispui: \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x^2 + 3\). Da Graph vo \(g\) liegt \(3\) Einheitn über dem vo \(f\).
Beispui: \(f(x) = \sin(x)\), \(g(x) = \sin(x) – 2\). Da Sinus wead um \(2\) noch untn vaschobm.
Horizontale Vaschiebung
Etwas gegnintuitiv: \(f(x – c)\) vaschiebt noch rechts, ned noch links. Grund: Wenn \(x – c = x_0\), dann is \(f(x – c) = f(x_0)\). Da Wert, den \(f\) früha an da Stell \(x_0\) ghabt hod, wead jetzt an da Stell \(x = x_0 + c\) oigenumma, oiso weida rechts.
Beispui: \(f(x) = x^2\), \(g(x) = (x – 2)^2\). Da Graph vo \(g\) is derselbe wia vo \(f\), aba um \(2\) noch rechts vaschobm. Scheitel jetzt bei \((2, 0)\).
Beispui: \(f(x) = \sin(x)\), \(g(x) = \sin(x + \pi/2)\). Weil \(x + \pi/2 = x – (-\pi/2)\) is des a Vaschiebung um \(\pi/2\) noch links. Ergibt übrigens \(\cos(x)\).
Vertikale Streckung und Stauchung
’s Moirechna vo da Funktion mit am positivn Faktor \(c\) streckt den Graphn in \(y\)-Richtung, wenn \(c > 1\), und staucht eahm, wenn \(0 < c < 1[/latex].
Beispui: [latex]f(x) = \sin(x)\), \(g(x) = 3 \sin(x)\). Amplitude wead vo \(1\) auf \(3\) erhöht.
Beispui: \(f(x) = x^2\), \(g(x) = \frac{1}{2} x^2\). Parabel wead broatr (bei gleichem \(x\)-Wert hoiba \(y\)-Wert).
Horizontale Streckung und Stauchung
Setz \(x\) durch \(c \cdot x\). Wenn \(c > 1\), staucht des d’Funktion horizontal (schnellere Durchlauf). Wenn \(0 < c < 1[/latex], streckt se's.
Beispui: [latex]f(x) = \sin(x)\), \(g(x) = \sin(2x)\). Periode hoibiert si, doppelt so schnella Durchlauf.
Beispui: \(f(x) = x^2\), \(g(x) = (3x)^2 = 9x^2\). D’Parabel wead horizontal gstaucht, was visuell dem Strecka in \(y\)-Richtung entspricht.
Spiegelunga
\(-f(x)\): Spiegelung an da \(x\)-Achse. Olle Funktionswert wechsln ’s Vorzeichen.
\(f(-x)\): Spiegelung an da \(y\)-Achse. Funktionswert an \(-x\) wead zum Funktionswert an \(x\).
\(-f(-x)\): Punktspiegelung am Ursprung. Entspricht ana Drehung um \(180^\circ\).
Visualisierung: Transformationen vo da Parabel
Kombinierte Transformationen
Mehrane Transformationen kennan kombiniert wean. D’Reihnfoig spuit manchmoi a Roin.
Beispui: \(g(x) = 2 f(x – 3) + 1\). Aus \(f\) entsteht \(g\) durch Vaschiebung um \(3\) noch rechts, dann vertikale Streckung um Faktor \(2\), dann Vaschiebung um \(1\) noch obn.
D’Reihnfoig is wichtig: Streckung vor Vaschiebung oder umgekehrt ergibt vaschiedne Ergebnisse.
Beispui mit Cosinus
\(g(x) = 3 \cos(2(x – \pi/4)) – 1\). Des is aus \(\cos(x)\) entstandn durch:
Horizontale Stauchung um Faktor \(2\) (Periode wead \(\pi\)).
Vaschiebung um \(\pi/4\) noch rechts.
Vertikale Streckung um Faktor \(3\) (Amplitude \(3\)).
Vaschiebung um \(1\) noch untn (Mittelwert \(-1\)).
Allgmoane Form mit Parametern
A allgmoane Transformation schreibt si ois \(g(x) = a \cdot f(b(x – c)) + d\) mit:
\(a\): vertikaler Streckungsfaktor (Vorzeichen = Spiegelung an \(x\)-Achse).
\(b\): horizontaler Stauchungsfaktor (Vorzeichen = Spiegelung an \(y\)-Achse).
\(c\): horizontale Vaschiebung.
\(d\): vertikale Vaschiebung.
Awendung: Normalparabel zu Scheitelform
D’Normalparabel \(y = x^2\) hod Scheitel im Ursprung. D’Scheitelform \(y = a(x – d)^2 + e\) entsteht durch Vaschiebung um \(d\) noch rechts und \(e\) noch obn sowie Streckung um Faktor \(a\).
Beispui: \(y = 3(x – 1)^2 + 2\). Scheitel \((1, 2)\), noch obn geöffnet, dreimoi so schmal wia Normalparabel.
Awendung: Sinusfunktion allgmoan
D’allgmoane Sinusfunktion \(y = A \sin(\omega(x – \varphi)) + D\) is a transformierte Standardsinusfunktion mit:
\(A\): Amplitude.
\(\omega\): Kreisfrequenz (\(T = 2\pi/\omega\) is Periode).
\(\varphi\): Phase (horizontale Vaschiebung).
\(D\): Mittelwert.
Nuistelln und Extremstelln noch Transformation
Wenn \(f\) a Nuistell \(x_0\) hod, hod \(g(x) = f(x – c)\) a Nuistell bei \(x_0 + c\). D’Nuistelln vaschiebm si mit.
Bei vertikale Vaschiebunga ändan si d’Nuistelln. \(g(x) = f(x) + d\) hod andre Nuistelln, wenn \(d \neq 0\): dort, wo \(f(x) = -d\).
Ruckwärts: welche Transformation?
Manchmoi soist dakenna, wia \(g\) aus \(f\) entsteht. Vagleich Funktionswert an bekannte Punkt. Bei \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = (x + 3)^2 – 1\): Da Scheitel vaschiebt si vo \((0, 0)\) zu \((-3, -1)\). Oiso horizontal \(-3\), vertikal \(-1\).
Häufige Fehla
Fehla 1: Bei \(f(x – c)\) glaubn, d’Vaschiebung sei noch links staats noch rechts.
Fehla 2: Horizontale und vertikale Transformationen vawechsln.
Fehla 3: Streckfaktor foisch interpretieren. \(f(2x)\) staucht horizontal, ned streckt.
Fehla 4: Reihnfoig vo de Transformationen vanachlässign, wenn mehrane kombiniert wean.
Fazit
Transformationen san d’geometrische Sproch vo de Funktionen. Vaschiebung, Streckung, Stauchung und Spiegelung ändan den Graphn auf vorhersagbare Weis. Mit’m Vaständnis vo de Operationen kannst aus wenige Grundfunktionen (Parabel, Sinus, Exponential) a enorme Vielfalt erzeugn und umgekehrt komplexe Funktionen auf oafache Grundforma zruckführen. Im Abitur sparen de Einsichtn Zeit, weil ma ned jede Funktion aufwendig diskutieren muaß, sondan ihre Eigenschaftn aus da Transformation oblesn ko. Übung is da Schlüssl, um Transformationen intuitiv zum dakenna und richtig azuwendn.