Trigonometrische Funktionen: sin(x), cos(x), tan(x) am Einheitskreis

De trigonometrischn Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens gheern zu de wichtigstn Funktionen vo da Mathematik überhaupts. Se bschreibn periodische Vorgäng wia Schwingunga, Wellen und Kreisbewegunga. Im bayerischn Abitur spuin se sowohl in da Analysis (Ableitunga, Integrale, Kurvendiskussion) ois aa in da Geometrie (Dreiecksberechnunga, Vektorrechnung) a Roin. Da Einheitskreis is da natürliche Ausgangspunkt, um Sinus und Cosinus für beliebige Winkl zum definiern.

Da Einheitskreis

Da Einheitskreis is da Kreis in da Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung \((0, 0)\) und Radius \(1\). A Punkt auf’m Einheitskreis wead durch an Winkl \(x\) festgelegt, da vom positivn Teil vo da \(x\)-Achse aus gegn den Uhrzeigersinn gmessn wead.

D’Koordinaten vo dem Punkt san dann \((\cos(x), \sin(x))\). Des is d’Definition vo Sinus und Cosinus für beliebige Winkl, aa über \(360^\circ\) hinaus und für negative Winkl.

Bogenmaß

In da höhern Mathematik wean Winkl bevorzugt im Bogenmaß gmessn, ned in Grad. ’s Bogenmaß vo am Winkl is d’Läng vom zughörign Kreisbogn auf’m Einheitskreis.

Da volle Winkl \(360^\circ\) entspricht’m Bogenmaß \(2\pi\) (Umfang vom Einheitskreis). Oiso \(180^\circ = \pi\), \(90^\circ = \pi/2\), \(45^\circ = \pi/4\), \(60^\circ = \pi/3\), \(30^\circ = \pi/6\).

D’Umrechnung: \(x_{\text{Bogenmaß}} = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot x_{\text{Grad}}\).

Sinus und Cosinus

Da Sinus vo am Winkl \(x\) is d‘\(y\)-Koordinate vom Punkt auf’m Einheitskreis, da Cosinus d‘\(x\)-Koordinate.

Wichtige Wert:

\(\sin(0) = 0\), \(\cos(0) = 1\).

\(\sin(\pi/6) = 1/2\), \(\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2\).

\(\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2\).

\(\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2\), \(\cos(\pi/3) = 1/2\).

\(\sin(\pi/2) = 1\), \(\cos(\pi/2) = 0\).

Visualisierung: Einheitskreis

Eigenschaftn vo da Sinusfunktion

Definitionsbereich: \(\mathbb{R}\). Wertemenge: \([-1, 1]\).

Periode: \(2\pi\). Oiso \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\).

Nuistelln: \(x = k\pi\) für ganze \(k\).

Maxima: \(\sin(x) = 1\) bei \(x = \pi/2 + 2k\pi\).

Minima: \(\sin(x) = -1\) bei \(x = -\pi/2 + 2k\pi\).

Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung, oiso \(\sin(-x) = -\sin(x)\) (ungrade Funktion).

Eigenschaftn vo da Cosinusfunktion

Definitionsbereich: \(\mathbb{R}\). Wertemenge: \([-1, 1]\).

Periode: \(2\pi\).

Nuistelln: \(x = \pi/2 + k\pi\) für ganze \(k\).

Maxima: \(\cos(x) = 1\) bei \(x = 2k\pi\).

Minima: \(\cos(x) = -1\) bei \(x = \pi + 2k\pi\).

Symmetrie: Achsensymmetrisch zua \(y\)-Achse, oiso \(\cos(-x) = \cos(x)\) (grade Funktion).

Zammhang zwischn Sinus und Cosinus

Grundlegende Identitätn:

\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) (Pythagoras am Einheitskreis).

\(\cos(x) = \sin(x + \pi/2)\) (Phasenvaschiebung um \(\pi/2\)).

\(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\), \(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\) (Periodizität).

Tangens

Da Tangens is definiert ois \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Er is überoi do definiert, wo \(\cos(x) \neq 0\), oiso bei \(x \neq \pi/2 + k\pi\).

An de Stelln \(x = \pi/2 + k\pi\) hod da Tangens Polstelln mit Vorzeichenwechsl. Dort san senkrechte Asymptoten.

Periode: \(\pi\). Oiso \(\tan(x + \pi) = \tan(x)\).

Nuistelln: dort, wo Sinus null is, oiso \(x = k\pi\).

Wertemenge: \(\mathbb{R}\).

Ableitunga

\((\sin(x))‘ = \cos(x)\).

\((\cos(x))‘ = -\sin(x)\).

\((\tan(x))‘ = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\).

Mit Kettenregl:

\((\sin(kx))‘ = k \cos(kx)\).

\((\cos(kx))‘ = -k \sin(kx)\).

Beispui: \(f(x) = \sin(2x + 1)\). \(f'(x) = 2 \cos(2x + 1)\).

Integrale

\(\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C\).

\(\int \cos(x) dx = \sin(x) + C\).

\(\int \tan(x) dx = -\ln|\cos(x)| + C\).

Spezielle Winkl und Wert

D’Wert bei de Standardwinkl soit ma auswendig kenna. Manche ergebm si aus Standarddreiecken:

Gleichschenklig-rechtwinkligs Dreieck mit Kathetn \(1\): Winkl \(45^\circ\), \(\sin = \cos = \sqrt{2}/2\).

Gleichseitigs Dreieck vo da Seitnläng \(1\), hoibiert: Kathetn \(1/2\) und \(\sqrt{3}/2\). Winkl \(30^\circ\) und \(60^\circ\): \(\sin(30^\circ) = 1/2\), \(\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2\), \(\sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2\), \(\cos(60^\circ) = 1/2\).

Awendung: Periodische Vorgäng

Schwingunga, Wellen und Kreisbewegunga wean mit Sinus und Cosinus bschriebn. Beispui: D’horizontale Position vom Pendelkörper: \(x(t) = A \cos(\omega t)\) mit Amplitude \(A\) und Kreisfrequenz \(\omega = 2\pi/T\), wobei \(T\) d’Periodendauer is.

Beispui Gezeiten: Wasserstand im Hafen \(h(t) = 2 \sin(\frac{\pi}{6} t) + 5\) mit \(t\) in Stund. Mittelwert \(5\) m, Amplitude \(2\) m, Periode \(12\) h.

Umgang mit negative und großn Winkl

Da Einheitskreis erlaubt’s, Sinus und Cosinus aa für negative Winkl und Winkl über \(2\pi\) zum definiern. Dabei wead da Winkl auf sein Referenzwinkl im erstn Quadrantn reduziert und ’s Vorzeichen je nach Quadrantn bstimmt.

Beispui: \(\sin(5\pi/3) = \sin(5\pi/3 – 2\pi) = \sin(-\pi/3) = -\sin(\pi/3) = -\sqrt{3}/2\).

Beispui: \(\cos(7\pi/6) = \cos(\pi + \pi/6) = -\cos(\pi/6) = -\sqrt{3}/2\).

Trigonometrische Gleichunga

Bei Gleichunga wia \(\sin(x) = 1/2\) findt ma unendlich vui Lösunga, weil d’Funktion periodisch is. Lösunga: \(x = \pi/6 + 2k\pi\) oder \(x = 5\pi/6 + 2k\pi\) für ganze \(k\).

Allgemein: Zerscht d’Hauptlösung im Intervoi \([0, 2\pi)\) finden, dann olle Lösunga durch Plusrechna vo Vielfachen vo da Periode angebm.

Häufige Fehla

Fehla 1: Grad und Bogenmaß vamischn. Im Taschnrechna muaß da richtige Modus eingstellt sei.

Fehla 2: Bei Ableitung ’s Vorzeichen bei Cosinus vagessn: \((\cos)‘ = -\sin\).

Fehla 3: Periodizität ignorieren. Bei trigonometrische Gleichunga gibt’s meistns unendlich vui Lösunga.

Fehla 4: \(\sin^2(x) = \sin(x)^2\), ned \(\sin(x^2)\).

Fazit

Sinus, Cosinus und Tangens bschreibn am Einheitskreis d’Zuordnung vom Winkl zua Position vo am Punkt. Se san periodisch, bschränkt und hamm vorhersagbare Ableitunga und Integrale. De wichtigstn Wert an Standardwinkl soitn auswendig sitzn. Mit’m Einheitskreis-Vaständnis lassen si Wert für beliebige Winkl herleitn. In da Analysis san de Funktionen zentrale Werkzeig für d’Kurvendiskussion, in da Geometrie für Berechnunga im Dreieck. A guade Vatrautheit mit’m Einheitskreis macht vui weidane Themen intuitiv.