Logarithmusfunktionen: natürlicha Logarithmus, dekadischa Logarithmus

Logarithmusfunktionen san d’Umkehrfunktionen vo de Exponentialfunktionen. Se beantwortn d’Frog: Mit welchem Exponent muaß i d’Basis potenziern, um den gebnen Wert zum kriagn? Im bayerischn Abitur san Logarithmusfunktionen wichtig, um Exponentialgleichunga zum lösn, Wachstumsgsetz umzuforma und bstimmte Ableitungs- und Integrationsaufgabn zum bewältigen. Bsonders da natürliche Logarithmus \(\ln\) hod a herausragende Roin, weil er d’Umkehrung vo da natürlichen Exponentialfunktion \(e^x\) is.

Definition

Für \(b > 0\), \(b \neq 1\) und \(x > 0\) is \(\log_b(x)\) d’eindeutig bstimmte Zoih \(y\) mit \(b^y = x\). Symbolisch: \(\log_b(x) = y \Leftrightarrow b^y = x\).

D’Funktion \(f(x) = \log_b(x)\) hoaßt Logarithmusfunktion zua Basis \(b\).

Spezielle Logarithmen

Im Abitur bsonders relevant san zwoa Logarithmusfunktionen:

Natürlicha Logarithmus (\(\ln\)): Basis \(e \approx 2{,}71828\). Bezeichnung: \(\ln(x) = \log_e(x)\).

Dekadischa Logarithmus (\(\lg\)): Basis \(10\). Bezeichnung: \(\lg(x) = \log_{10}(x)\).

Da natürliche Logarithmus is da Standard vo da höhern Mathematik, da dekadische wead in Technik und Physik vawendt (pH-Wert, Dezibel, Richter-Skala).

Eigenschaftn vo da Logarithmusfunktion

Definitionsbereich: \(D = (0, \infty)\). Für \(x \leq 0\) is da Logarithmus ned definiert.

Wertemenge: \(W = \mathbb{R}\).

Nuistell: \(\log_b(1) = 0\).

Spezieller Wert: \(\log_b(b) = 1\).

Für \(b > 1\): streng monoton steigend.

Für \(0 < b < 1[/latex]: streng monoton foillnd (seitn, meistns nutzt ma [latex]b > 1\)).

Waagrechte Asymptote: koa. Für \(x \to \infty\) geht \(\log_b(x) \to \infty\), aba sehr langsam.

Senkrechte Asymptote: \(x = 0\). Für \(x \to 0^+\) geht \(\log_b(x) \to -\infty\).

Visualisierung

Da Graph nähert si da \(y\)-Achse für \(x \to 0\) und wachst langsam für \(x \to \infty\). D’Nuistell liegt bei \(x = 1\), und bei \(x = e\) (bzw. \(x = 10\) für \(\lg\)) hod d’Funktion den Wert \(1\).

Umkehrung vo da Exponentialfunktion

Exponential- und Logarithmusfunktionen san zueinand invers: \(\ln(e^x) = x\) und \(e^{\ln(x)} = x\) (für \(x > 0\)).

Graphisch: D’Graphen vo \(y = e^x\) und \(y = \ln(x)\) san spiegelbildlich bzüglich vo da Winkelhalbierendn \(y = x\).

De Umkehrung is d’Basis, um Exponentialgleichunga zum lösn. Wenn \(e^x = 5\), wend \(\ln\) an: \(x = \ln(5) \approx 1{,}609\).

Logarithmusgsetz

De drei Logarithmusgsetz (Produkt-, Quotienten-, Potenzregl) san aa do zentrai. Se foign aus de Potenzgsetz vo da Exponentialfunktion.

Produkt: \(\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)\).

Quotient: \(\ln(a/b) = \ln(a) – \ln(b)\).

Potenz: \(\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)\).

Ableitung

D’Ableitung vom natürlichn Logarithmus is bsonders schlicht: \((\ln(x))‘ = \frac{1}{x}\).

Für d’allgemoane Logarithmusfunktion: \((\log_b(x))‘ = \frac{1}{x \ln(b)}\).

Mit Kettenregl: \((\ln(u(x)))‘ = \frac{u'(x)}{u(x)}\).

Beispui: \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\).

Beispui: \(f(x) = \ln(3x – 5)\). \(f'(x) = \frac{3}{3x – 5}\).

Integration

Da Logarithmus is a Stammfunktion für \(1/x\): \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\) (für \(x \neq 0\)). Da Betrag is wichtig, weil \(\ln\) bloß für positive \(x\) definiert is, d’Funktion \(1/x\) aba aa für negative.

Umgekehrt: \(\int \ln(x) dx = x \ln(x) – x + C\) (partielle Integration).

Basiswechsl

Jedn Logarithmus ko ma in ana andan Basis ausdrücka: \(\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)} = \frac{\lg(x)}{\lg(b)}\).

Beispui: \(\log_2(100) = \frac{\ln(100)}{\ln(2)} \approx \frac{4{,}605}{0{,}693} \approx 6{,}644\).

Da Taschnrechna hod bloß \(\ln\) und \(\lg\), olle andan Logarithmen muaß ma übern Basiswechsl berechna.

Awendung: pH-Wert

Da pH-Wert vo ana Lösung: \(\text{pH} = -\lg([\text{H}^+])\) mit da Wasserstoffionenkonzentration in mol/l.

Beispui: \([\text{H}^+] = 10^{-7}\) mol/l (neutrales Wasser). \(\text{pH} = 7\).

\([\text{H}^+] = 10^{-3}\): pH \(= 3\), saure Lösung.

Awendung: Dezibel

D’Lautstärke in Dezibel: \(L = 10 \lg(I / I_0)\) mit Referenzintensität \(I_0\). A Vazehnfachung vo da Intensität entspricht ana Zunahme um \(10\) dB.

Logarithmische Skalen

Wenn ma sehr unterschiedliche Größnordnunga in am Diagramm dastelln mog, nutzt ma logarithmische Skalen. Jede Einheit auf da Achse entspricht ana Vazehnfachung. So passt olls vo \(1\) bis \(10^{10}\) in an übersichtlichen Graphn.

Awendung: Hoibwertszeit bstimma

A radioaktive Substanz zerfoit noch \(N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\). Für d’Hoibwertszeit \(T\): \(N_0 \cdot e^{-\lambda T} = N_0/2\), oiso \(e^{-\lambda T} = 1/2\). Logarithmieren: \(-\lambda T = \ln(1/2) = -\ln 2\), oiso \(T = \ln(2)/\lambda\).

Beispui: Wenn d’Hoibwertszeit \(5\) Tog is, dann \(\lambda = \ln(2)/5 \approx 0{,}139\) pro Tog.

Logarithmische Gleichunga

Um Gleichunga mit Logarithmen zum lösn, nutzt ma d’Umkehrfunktion: Exponential mit da gleichn Basis.

Beispui: \(\ln(x) = 3 \Rightarrow x = e^3 \approx 20{,}09\).

Beispui: \(\ln(x + 2) = 1 \Rightarrow x + 2 = e \Rightarrow x = e – 2 \approx 0{,}718\).

Bei mehrane Logarithmen: zerscht zammfassn mit de Gsetz, dann auflösn.

Kombinationen mit \(e\)-Funktion

In da Analysis tauchan oft Funktionen auf wia \(f(x) = x \ln(x)\), \(f(x) = \ln(x)/x\), \(f(x) = e^x \ln(x)\). Bei da Ableitung nutzt ma Produkt- und Quotientenregl.

Beispui: \(f(x) = x \ln(x)\). \(f'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\).

Nuistell vo da Ableitung: \(\ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = 1/e\).

Monotonie und Umkehrung

Da natürliche Logarithmus is streng monoton steigend. Des bedeutet, aus \(a < b[/latex] foigt [latex]\ln(a) < \ln(b)[/latex] (für positive [latex]a, b[/latex]). De Eigenschaft is bei da Lösung vo Ungleichunga nützlich.

Beispui: Find olle [latex]x\) mit \(\ln(x) > 2\). Weil \(\ln\) monoton steigend, is des gleichbedeutend mit \(x > e^2 \approx 7{,}39\).

Häufige Fehla

Fehla 1: \(\ln(a + b) = \ln(a) + \ln(b)\). Des is foisch. D’Produktregl güit bloß für Produkte, ned für Summan.

Fehla 2: \(\ln\) auf negative Argumente awendn. \(\ln(-2)\) is ned definiert.

Fehla 3: D’Ableitung ned mit da Kettenregl vaseh. \((\ln(2x))‘ = 1/x\), ned \(1/(2x)\).

Fehla 4: Bei Gleichunga den Definitionsbereich vagessn. Lösunga müassen positive Argumente im Logarithmus hamm.

Fazit

Logarithmusfunktionen san d’Umkehrung vo de Exponentialfunktionen. Da natürliche Logarithmus \(\ln\) is im Abitur Standard, sei Ableitung is \(1/x\). D’Funktion hod Definitionsbereich \((0, \infty)\), Nuistell bei \(1\) und is streng monoton steigend. Mit de Logarithmusgsetz lassen si komplizierte Gleichunga vereinfacha, und dank da Umkehrbeziehung ko ma Exponentialgleichunga lösn. Awendunga reichan vom pH-Wert übers Dezibel bis zua Hoibwertszeit und Vadopplungszeit. Logarithmusfunktionen und ihre Regln san unvazichtbar in da Oberstufnmathematik.