Lineare Funktionen: Steigung, y-Achsnobschnitt, Nuistelln

Lineare Funktionen san de oafachsten und gleichzeitig wichtigstn Funktionen vo da Schuimathematik. Ihr Graph is a Gradn, und mit wenig Parametern losst si ihr Vahoitn vollständig bschreibn. In da Oberstuf begegnan da lineare Funktionen in vui Zammhäng: bei Tangentn an Kurvn, bei Regressionsgradn in da Stochastik, ois Grenzfoi bei da Linearisierung und in da analytischn Geometrie ois Gradn im Raum. Wea Steigung, \(y\)-Achsnobschnitt und Nuistell sicha bstimma ko, hod a stabile Basis.

Grundform

A lineare Funktion hod d’Form \(f(x) = mx + t\) mit \(m, t \in \mathbb{R}\). Da Graph is a Gradn.

\(m\) is d’Steigung: Er gibt o, wia stark d’Funktion mit \(x\) o- oda obsteigt.

\(t\) is da \(y\)-Achsnobschnitt: Da Schnittpunkt vo da Gradn mit da \(y\)-Achse.

Beispui: \(f(x) = 2x + 3\). Steigung \(m = 2\), \(y\)-Achsnobschnitt \(t = 3\).

D’Steigung

D’Steigung gibt o, um wia vui \(f(x)\) zuanimmt, wenn \(x\) um \(1\) wachst. Anders gsagt: \(\Delta y / \Delta x = m\).

Wenn \(m > 0\): D’Gradn steigt. Je größer \(m\), desto steila.

Wenn \(m < 0[/latex]: D'Gradn foit.

Wenn [latex]m = 0\): D’Gradn is waagrecht. Konstante Funktion \(f(x) = t\).

Steigung aus zwoa Punktn

Wenn zwoa Punkte \(P_1(x_1, y_1)\) und \(P_2(x_2, y_2)\) auf da Gradn liegn, berechnet si d’Steigung ois:

\(m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\).

Beispui: Punkte \((1, 3)\) und \((5, 11)\). \(m = (11 – 3)/(5 – 1) = 8/4 = 2\).

Beispui: Punkte \((2, 7)\) und \((5, 1)\). \(m = (1 – 7)/(5 – 2) = -6/3 = -2\). Negative Steigung, Gradn foit.

\(y\)-Achsnobschnitt

Da \(y\)-Achsnobschnitt \(t\) is da Funktionswert bei \(x = 0\): \(f(0) = m \cdot 0 + t = t\).

Aus \(m\) und am Punkt \((x_0, y_0)\) auf da Gradn findt ma \(t\): \(y_0 = m x_0 + t \Rightarrow t = y_0 – m x_0\).

Beispui: Steigung \(m = 3\), Punkt \((2, 10)\) auf Gradn. \(t = 10 – 3 \cdot 2 = 4\). Funktion: \(f(x) = 3x + 4\).

Nuistell

D’Nuistell ana Funktion is de \(x\)-Koordinate, bei dera da Graph d‘\(x\)-Achse schneidet. Oiso \(f(x_0) = 0\).

Für lineare Funktionen: \(mx_0 + t = 0 \Rightarrow x_0 = -t/m\), falls \(m \neq 0\).

Beispui: \(f(x) = 2x + 6\). Nuistell: \(2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3\).

Wenn \(m = 0\) und \(t = 0\): d’Funktion is konstant null, olle Wert san Nuistelln.

Wenn \(m = 0\) und \(t \neq 0\): koa Nuistell.

Visualisierung

Dastellung ana linearen Funktion

Gegen zwoa Punkt oder Punkt plus Steigung, ko ma d’Funktionsgleichung aufstelln.

Beispui: Funktion durch \((0, 2)\) und \((3, 8)\). \(m = (8-2)/(3-0) = 2\). Weil \((0, 2)\) auf da Gradn liegt, is \(t = 2\). Funktion: \(f(x) = 2x + 2\).

Beispui: Funktion mit Steigung \(-1\) durch \((4, 1)\). \(t = 1 – (-1) \cdot 4 = 5\). Funktion: \(f(x) = -x + 5\).

Punktprob

Um z’prüfen, ob a Punkt auf ana Gradn liegt, setzt ma seine Koordinaten in d’Funktionsgleichung ein.

Beispui: Liegt \((3, 11)\) auf \(f(x) = 2x + 5\)? \(f(3) = 6 + 5 = 11\). Passt.

Beispui: Liegt \((2, 5)\) auf \(f(x) = 3x – 2\)? \(f(2) = 6 – 2 = 4 \neq 5\). Passt ned.

Parallele Gradn

Zwoa Gradn san parallel, wenn se d’gleiche Steigung hamm, aba vaschiedne \(y\)-Achsnobschnitt.

Beispui: \(y = 3x + 1\) und \(y = 3x – 4\) san parallel.

Wenn \(y\)-Achsnobschnitt aa gleich is, san d’Gradn identisch.

Senkrechte Gradn

Zwoa Gradn stengan senkrecht aufeinand, wenn ’s Produkt vo ihre Steigunga \(-1\) is: \(m_1 \cdot m_2 = -1\).

Beispui: Gradn mit Steigung \(2\). Senkrechte Gradn hod Steigung \(-1/2\).

Beispui: Normale auf \(y = 3x + 1\) durch \((2, 7)\). Steigung da Normale: \(-1/3\). \(y\)-Achsnobschnitt: \(t = 7 – (-1/3) \cdot 2 = 7 + 2/3 = 23/3\). Normale: \(y = -x/3 + 23/3\).

Schnittpunkt zwoa Gradn

Um an Schnittpunkt zu finden, setzt ma d’Funktionsgleichungen gleich und löst nach \(x\).

Beispui: \(y = 2x + 1\) und \(y = -x + 7\). Gleichsetzn: \(2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). \(y = 5\). Schnittpunkt: \((2, 5)\).

Anwendung: Tarifrechnung

A Handyvatrag kost \(10\) Euro pro Monat plus \(0{,}05\) Euro pro Minute. Kosten in Abhängigkeit vo de Minuten: \(K(x) = 10 + 0{,}05 x\). Lineare Funktion mit \(t = 10\) (Grundpreis) und \(m = 0{,}05\) (Minutenpreis).

Bei wia vui Minuten kost’s 50 Euro? \(50 = 10 + 0{,}05 x \Rightarrow x = 800\) Minuten.

Anwendung: Bewegung

A Auto fohrt mit konstanter Gschwindigkeit \(v = 60\) km/h los. Position nach \(t\) Stund, wenn’s bei \(s_0 = 5\) km startet: \(s(t) = 60t + 5\). Lineare Funktion in \(t\).

Wann erreicht’s Kilometa \(245\)? \(245 = 60t + 5 \Rightarrow t = 4\) Stund.

Lineare Regression

In da Stochastik suacht ma oft a lineare Funktion, de a Punktwolke möglichst guat annähert. Des hoaßt lineare Regression. D’Regressionsgradn minimiert d’Summ vo de quadrierten Obweichunga.

Formel für Steigung: \(m = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2}\). Und \(t = \bar{y} – m \bar{x}\).

Differenz und Durchschnitt

A lineare Funktion hod konstante Ännerungsrate. D’Differenz \(f(x_1) – f(x_2) = m (x_1 – x_2)\), und d’Steigung is oiwei \(m\). Des unterscheidet lineare Funktionen vo aller anderen.

Duachschnittliche Ännerungsrate zwischn zwoa Punktn: \(\frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} = m\) bei linearen Funktionen. Bei nichtlinearen Funktionen hängt s ab vo de betrachtetn Punkt.

Häufige Fehla

Fehla 1: Bei da Berechnung vo \(m\) Zähla und Nenna vatauschn. Richtig: \(m = \Delta y / \Delta x\), ned \(\Delta x / \Delta y\).

Fehla 2: \(y\)-Achsnobschnitt mit \(x\)-Achsnobschnitt (also Nuistell) vawechsln.

Fehla 3: Beim Aufstellen vo da Gleichung aus Punkt und Steigung ’s Vorzeichen vawechsln.

Fehla 4: Senkrecht-Bedingung foisch anwendn. \(m_1 \cdot m_2 = -1\), ned \(m_1 + m_2 = 0\).

Abstand Punkt – Gradn

Für komplexere Aufgabn braucht ma oft an Obstand zwischn am Punkt und ana Gradn. Bei ana Gradn \(ax + by + c = 0\) und am Punkt \(P(x_0, y_0)\): \(d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) (Hessesche Normalform).

Schluss

Lineare Funktionen san ’s Herzstück vo da Schuimathematik. Mit bloß zwoa Parametern Steigung und \(y\)-Achsnobschnitt lassn si Gradn vollständig bschreiben. Nuistelln, Schnittpunkte und Senkrecht-Bedingunga san oafach berechenbar. In Anwendungen bschreibn se proportionale Zammenhäng. Aa in komplexere Zusammenhäng wia Tangentn und Regressionsgradn tauchan se auf. A solidas Vaständnis vo linearen Funktionen is d’Basis für vui weidane Konzepte.