Nichtlineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme enthoitn mindstns a nichtlineare Gleichung, zum Beispui mit quadratische Termen, Wurzln, Potenzn oda trigonometrische Funktionen. Se san komplizierta ois lineare Systeme und losst si meistns durch Einsetzn oder Substitution lösn. Typische Beispui san Schnittpunkte vo Parabeln und Gradn oder Schnitte vo Kreisen mit Gradn in da analytischn Geometrie. Im bayerische Abitur kemman nichtlineare Systeme bei geometrische Problemen und bei Anwendungen vor.

Allgemoane Form

A nichtlineares Gleichungssystem enthoit mindstns a Gleichung, de ned linear is. ’s ko bsteh aus:

Zwoa quadratische Gleichunga

A lineare und a quadratische Gleichung

Gleichunga mit Wurzln, Exponentialausdrück etc.

Beispui:

\(x^2 + y^2 = 25\) \(y = x + 1\)

Des is da klassische Schnitt vo am Kreis mit ana Gradn.

Lösungsstrategie: Einsetzungsvafahrn

A lineare Gleichung im System nutzt ma, um oane Variable auszudrücken und in d’andere einzusetzn. De erhoitane Gleichung is meistns quadratisch und löst si mit Standardmethodn.

Beispui: Schnitt vo \(y = x^2 – 2x\) und \(y = x + 2\).

Gleichsetzn: \(x^2 – 2x = x + 2 \Rightarrow x^2 – 3x – 2 = 0\).

Mitternachtsformel: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\).

\(x_1 \approx 3{,}56\), \(y_1 \approx 5{,}56\). \(x_2 \approx -0{,}56\), \(y_2 \approx 1{,}44\).

Schnitt Kreis und Gradn

A Standardaufgab: Wo schneidn si da Kreis \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) und d’Gradn \(y = mx + t\)?

Beispui: Kreis \(x^2 + y^2 = 25\) und Gradn \(y = 2x – 5\).

Einsetzn: \(x^2 + (2x – 5)^2 = 25 \Rightarrow x^2 + 4x^2 – 20x + 25 = 25 \Rightarrow 5x^2 – 20x = 0 \Rightarrow 5x(x – 4) = 0\). Lösunga: \(x = 0\) oda \(x = 4\). Dann \(y = -5\) oda \(y = 3\).

Schnittpunkte: \((0, -5)\) und \((4, 3)\).

Foi nach da Lag vo da Gradn zum Kreis

Je noch Lag ergebm si zwoa, a oder koa Schnittpunkt.

Zwoa Schnittpunkte: D’Gradn is Sekante (schneidet den Kreis).

Oa Schnittpunkt: D’Gradn is Tangente (berührt den Kreis).

Koa Schnittpunkt: D’Gradn liegt ganz außahoib vom Kreis.

’s entscheidende Kriterium is d’Diskriminante bei da erhoitanen quadratische Gleichung.

Zwoa Parabeln schneidn

Beispui: \(y = x^2\) und \(y = -x^2 + 4\). Gleichsetzn: \(x^2 = -x^2 + 4 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}\). Dann \(y = 2\).

Schnittpunkte: \((\sqrt{2}, 2)\) und \((-\sqrt{2}, 2)\).

System aus zwoa Kreisen

Da Schnitt vo zwoa Kreisen: Obziehn vo de zwoa Kreisgleichunga gibt a lineare Gleichung (weil si d‘\(x^2\)– und \(y^2\)-Terme wegkürzn). Dann Einsetzn in oane Kreisgleichung.

Beispui:

\(x^2 + y^2 = 25\) \((x-6)^2 + y^2 = 25\)

Obziehn: \(x^2 – (x-6)^2 = 0 \Rightarrow x^2 – x^2 + 12x – 36 = 0 \Rightarrow x = 3\).

Einsetzn: \(9 + y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4\).

Schnittpunkte: \((3, 4)\) und \((3, -4)\).

Visualisierung: Schnittpunkte

Substitution bei komplexere Systeme

Wenn in am System a oanzelner Ausdruck mehrmoi vorkimmt, hüift Substitution.

Beispui:

\(x^2 + y^2 = 5\) \(xy = 2\)

Aus zwoata: \(y = 2/x\). In erste einsetzn: \(x^2 + 4/x^2 = 5\). Moirechna mit \(x^2\): \(x^4 + 4 = 5x^2 \Rightarrow x^4 – 5x^2 + 4 = 0\).

Substitution \(u = x^2\): \(u^2 – 5u + 4 = 0 \Rightarrow (u-1)(u-4) = 0\). \(u = 1\) oda \(u = 4\).

Ruckkehr: \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\), \(y = \pm 2\). \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\), \(y = \pm 1\).

Lösunga: \((1, 2), (-1, -2), (2, 1), (-2, -1)\).

Symmetrische Systeme

A System hoaßt symmetrisch, wenn ’s ois Ganzes unveräandert bleibt, wenn ma \(x\) und \(y\) vatauscht. Beispui: \(x + y = s\), \(xy = p\). Lösunga erhoit ma noch Vieta: \(x\) und \(y\) san d’Wurzln vom \(t^2 – st + p = 0\).

Beispui: \(x + y = 7\) und \(xy = 12\). \(t^2 – 7t + 12 = 0 \Rightarrow t = 3\) oda \(t = 4\). Lösunga: \((x, y) = (3, 4)\) oder \((4, 3)\).

System mit Exponentialausdrück

Beispui:

\(2^x + 2^y = 12\) \(x + y = 5\)

Aus zwoata: \(y = 5 – x\). Einsetzn: \(2^x + 2^{5-x} = 12\). Mit Substitution \(u = 2^x\): \(u + 32/u = 12 \Rightarrow u^2 – 12u + 32 = 0\). Mitternachtsformel: \(u = \frac{12 \pm \sqrt{144 – 128}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}\). \(u = 8\) oda \(u = 4\). Oiso \(2^x = 8 \Rightarrow x = 3\) oder \(2^x = 4 \Rightarrow x = 2\).

Lösunga: \((3, 2)\) und \((2, 3)\).

Anwendung: Tangente an ana Kurve

Gsuacht is d’Tangente an \(y = x^2\) durch’n Punkt \((0, -1)\). Tangente hod d’Form \(y = mx – 1\). Schnittpunkt mit Parabel: \(x^2 = mx – 1 \Rightarrow x^2 – mx + 1 = 0\). Für a Tangente muaß d’Gleichung genau a Lösung hamm, oiso Diskriminante \(= 0\): \(m^2 – 4 = 0 \Rightarrow m = \pm 2\).

Zwoa Tangenten: \(y = 2x – 1\) und \(y = -2x – 1\).

Geometrisches Problem mit nichtlinearem System

A Rechteck hod Umfang \(20\) und Fläch \(24\). Wia groß san d’Seitn?

Sei \(a, b\) d’Seitn. \(2(a + b) = 20\) und \(a \cdot b = 24\). Oiso \(a + b = 10\), \(ab = 24\). Noch Vieta: \(t^2 – 10t + 24 = 0 \Rightarrow t = 4\) oda \(t = 6\). Seitn \(4\) und \(6\).

Anzoih vo Lösunga

Nichtlineare Systeme kennan mehr Lösunga hamm ois lineare. Bei zwoa quadratische Gleichunga san bis zu viere Lösunga miaglich. Bei zwoa Kreisen bis zu zwoa Schnittpunkte.

Beispui mit keinen Lösunga:

\(x^2 + y^2 = 1\) \(x^2 + y^2 = 4\)

Obziehen: \(0 = 3\). Widerspruch. Koa Lösung. Logisch: Zwoa konzentrische Kreise mit verschiedene Radien schneidn si ned.

Häufige Fehla

Fehla 1: Beim Quadrieren Scheinlösunga erzeugn. Probe am End durchführen.

Fehla 2: Bei Substitution ’s Ruckkehr-Schritt vagessn oder ned olle möglichen Ruckkehr-Wert betrachtn.

Fehla 3: Bei symmetrischen Systeme ned beide Vertauschunga \((a, b)\) und \((b, a)\) ois Lösunga angebm.

Fehla 4: Definitionsbereiche ignorieren. Bei Wurzln und Logarithmen is \(x > 0\) oft Voraussetzung.

A anspruchsvolleres Beispui

Lös:

\(x^2 – y^2 = 9\) \(x + y = 3\)

Faktorisieren vo (I): \((x-y)(x+y) = 9\). Einsetzn (II): \((x-y) \cdot 3 = 9 \Rightarrow x – y = 3\).

Nu a System, diesmoi linear: \(x + y = 3\) und \(x – y = 3\). Plusrechna: \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\), \(y = 0\).

Lösung: \((3, 0)\).

Nichtlineare Ungleichungssysteme

Aa Ungleichungssysteme kennan nichtlineare Elementa enthoitn. Man bstimmt d’Lösungsmenge jeder einzeln und büdt den Durchschnitt.

Beispui: \(x^2 + y^2 \leq 4\) und \(y \geq x\). Erste Ungleichung: Kreisscheibn mit Radius \(2\). Zwoate: Halbebene obahoib vo \(y = x\). Schnittmenge: d’Hoifte vo da Kreisscheibn obahoib da Gradn.

Schluss

Nichtlineare Gleichungssysteme löst ma im Abitur hauptsächlich durch Einsetzn und Substitution. Da erste Schritt is oiwei, a Gleichung nach ana Variable zum auflösn und in d’andere einzusetzen. Bei zwoa Kreisen hüift ’s Obziehn. Bei Parabeln und Gradn kimmt ’s Gleichsetzn. D’resultierende Gleichung is oft quadratisch und ko mit Standardmethodn glöst wean. Mit a weng Übung wean aa vatrackte Systeme handhabba. Geometrische Interpretation hüift oft, d’Anzoih vo Lösunga im Voraus einzuschätzn.