Lineare Gleichungssysteme mit zwoa Variablen

A lineares Gleichungssystem mit zwoa Variablen bsteht aus zwoa Gleichunga in zwoa Unbekanntn, meistns \(x\) und \(y\). D’Lösung is a Zoihnpaar, des beide Gleichunga gleichzeitig erfüllt. Solche Systeme begegnan da in da Oberstuf bei Aufgabn mit zwoa Unbekannte, bei Schnittpunktberechnunga vo Gradn und in Anwendungsaufgabn. Wea d’drei Standardvafahrn beherrscht (Einsetzungsvafahrn, Gleichsetzungsvafahrn, Additionsvafahrn), löst so Systeme zuverlässig.

Allgemoane Form

A lineares Gleichungssystem mit zwoa Variablen hod d’Form:

\(a_1 x + b_1 y = c_1\) \(a_2 x + b_2 y = c_2\)

Dabei san \(a_i\), \(b_i\), \(c_i\) feste Zoihn. D’Unbekanntn san \(x\) und \(y\). Gsuacht is a Zoihnpaar \((x, y)\), des beide Gleichunga erfüllt.

Anschaulich: Schnittpunkt vo zwoa Gradn

Jede lineare Gleichung \(ax + by = c\) bschreibt a Gradn im Koordinatnsystem. D’Lösung vom System is da Schnittpunkt vo de zwoa Gradn. Je nach Lag vo de Gradn gibt’s drei Foi:

Foi 1: D’Gradn schneidn si in am Punkt. ’s System hod genau a Lösung.

Foi 2: D’Gradn san parallel aba vaschiedn. ’s System hod koa Lösung.

Foi 3: D’Gradn san identisch. ’s System hod unendlich vui Lösunga.

Einsetzungsvafahrn

Dös Vafahrn funktioniert so: A Gleichung wead nach ana Variable aufglöst und in d’andere eigsetzt.

Beispui:

\(x + y = 10\) (I)

\(2x – y = 5\) (II)

Schritt 1: (I) nach \(y\) auflösn: \(y = 10 – x\).

Schritt 2: In (II) einsetzn: \(2x – (10 – x) = 5 \Rightarrow 3x – 10 = 5 \Rightarrow x = 5\).

Schritt 3: In \(y = 10 – x\) einsetzn: \(y = 5\).

Lösung: \((x, y) = (5, 5)\).

Gleichsetzungsvafahrn

Beide Gleichunga nach da gleichn Variable auflösn und dann gleichsetzn.

Beispui:

\(y = 3x + 1\) (I)

\(y = -2x + 11\) (II)

Gleichsetzn: \(3x + 1 = -2x + 11 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2\). Dann \(y = 3 \cdot 2 + 1 = 7\). Lösung: \((2, 7)\).

Dös Vafahrn is bsonders praktisch, wenn beide Gleichunga scho d’Form \(y = \ldots\) hamm.

Additionsvafahrn

Des leistungsfähigste Vafahrn. Ma moiert d’Gleichunga so, dass beim Plusrechna oane vo de Variablen wegfoit.

Beispui:

\(3x + 2y = 12\) (I)

\(5x – 2y = 4\) (II)

Plusrechna (I) und (II): \(8x = 16 \Rightarrow x = 2\). Einsetzn in (I): \(6 + 2y = 12 \Rightarrow y = 3\). Lösung: \((2, 3)\).

Wenn d’Koeffizientn ned passn, moiert ma zerscht:

\(2x + 3y = 13\) (I)

\(4x – y = 5\) (II)

Moi (II) mit \(3\): \(12x – 3y = 15\). Plusrechna mit (I): \(14x = 28 \Rightarrow x = 2\). Einsetzn: \(4 \cdot 2 – y = 5 \Rightarrow y = 3\). Lösung: \((2, 3)\).

Welches Vafahrn wann?

Einsetzungsvafahrn: Passt, wenn a Gleichung scho nach ana Variable aufglöst is oda leicht aufzlösn is.

Gleichsetzungsvafahrn: Passt, wenn beide Gleichunga nach da gleichn Variable aufglöst sind (typisch bei Gradn in da Form \(y = mx + t\)).

Additionsvafahrn: ’s universellste. Besonders effizient bei gmischte Koeffizientn.

Systeme ohne Lösung

Wenn ma beim Lösn auf an Widerspruch kimmt (wia \(0 = 5\)), hod ’s System koa Lösung. D’Gradn san parallel aba vaschiedn.

Beispui:

\(2x + y = 3\) \(4x + 2y = 10\)

Moi erste Gleichung mit \(2\): \(4x + 2y = 6\). Mit zwoata: \(4x + 2y = 10\). Widerspruch, koa Lösung.

Systeme mit unendlich vui Lösunga

Wenn ma auf a wahre Aussag (wia \(0 = 0\)) kimmt, hod ’s System unendlich vui Lösunga. Beide Gleichunga bschreibn d’gleiche Gradn.

Beispui:

\(x + y = 3\) \(2x + 2y = 6\)

Zwoate is ’s Doppelte vo erste. Beide bschreibn d’gleiche Gradn. Olle \((x, y)\) mit \(x + y = 3\) san Lösunga.

Visualisierung: drei Foi

Anwendung: Textaufgab

Zwoa Zoihn ergebn zam \(50\). Ihre Differenz is \(12\). Wia lauten d’Zoihn?

Sei \(x\) und \(y\) d’Zoihn. Gleichungssystem:

\(x + y = 50\) \(x – y = 12\)

Plusrechna: \(2x = 62 \Rightarrow x = 31\). Einsetzn: \(31 + y = 50 \Rightarrow y = 19\). Lösung: \((31, 19)\).

Anwendung: Mischungsaufgab

A Händler moicht zwoa Kaffeesorten. Sorte A kost \(8\) Euro pro kg, Sorte B kost \(12\) Euro pro kg. Er mog \(10\) kg Mischung zu \(9{,}60\) Euro pro kg vakaufn. Wia vui kg vo jeda Sorte braucht er?

Sei \(a\) und \(b\) d’Menge vo de Sorten. Gesamtmenge: \(a + b = 10\). Wert: \(8a + 12b = 96\) (denn \(10 \cdot 9{,}60 = 96\)).

Aus erster: \(a = 10 – b\). Einsetzn: \(8(10-b) + 12b = 96 \Rightarrow 80 + 4b = 96 \Rightarrow b = 4\). Oiso \(a = 6\). Lösung: \(6\) kg Sorte A, \(4\) kg Sorte B.

Anwendung: Bewegungsaufgab

Zwoa Fohrzeig fohrn auf am Flugplatz aufeinander zua. Se san \(400\) km entfernt. Fohrzeig A fohrt \(80\) km/h, Fohrzeig B \(120\) km/h. Noch wia vui Stund begegnan se si?

Sei \(t\) d’Zeit bis zum Treffn. Fohrzeig A: Weg \(80t\). Fohrzeig B: Weg \(120t\). Summ: \(80t + 120t = 400 \Rightarrow 200t = 400 \Rightarrow t = 2\). Se treffen si noch \(2\) Stund.

Schnittpunkt zwoa Gradn

Gebn: Gradn \(g_1: y = 2x + 1\) und \(g_2: y = -x + 7\). Find den Schnittpunkt.

Gleichsetzn: \(2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). \(y = 2 \cdot 2 + 1 = 5\). Schnittpunkt: \((2, 5)\).

Parametrisierte Systeme

Manchmoi enthoit a System an Parameter \(a\), und man soi bstimma, für welche \(a\)-Wert’s a Lösung gibt.

Beispui:

\(2x + y = 3\) \(4x + ay = 6\)

Additionsvafahrn: Moi erste mit \(-2\): \(-4x – 2y = -6\). Plus zwoate: \((a-2)y = 0\).

Foi 1: \(a \neq 2\). Dann \(y = 0\), \(x = 3/2\). Eindeutige Lösung.

Foi 2: \(a = 2\). Dann \(0 = 0\). Unendlich vui Lösunga, beide Gleichunga san identisch.

Häufige Fehla

Fehla 1: Beim Einsetzen Klammern vagessn. \(-(10 – x)\) is \(-10 + x\), ned \(-10 – x\).

Fehla 2: Beim Additionsvafahrn Vorzeichen vawechsln.

Fehla 3: Nach Bstimmen vo \(x\) ’s Einsetzn in d’andere Gleichung zum Finden vo \(y\) vagessn.

Fehla 4: Die Probe auslassn. A kurze Probe am End zoagt Flüchtigkeitsfehla.

Geometrische Interpretation

Jede lineare Gleichung \(ax + by = c\) bschreibt a Gradn. D’Koeffizientn \(a\) und \(b\) bstimman d’Richtung. Wenn \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\) aba \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\), san d’Gradn parallel aba vaschiedn (koa Lösung). Wenn \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\), san se identisch (unendlich vui Lösunga). Sunst schneidn se si in am Punkt.

Schluss

Lineare Gleichungssysteme mit zwoa Variablen löst ma mit oan vo drei Vafahrn: Einsetzn, Gleichsetzn oder Plusrechna. Wichtig is de Erkenntnis, ob ’s System aane, koa oda unendlich vui Lösunga hod. Anwendunga findt ma bei Mischungs-, Bewegungs- und Schnittpunktaufgabn. Mit Übung wead ’s Lösn zum Reflex, und man wählt intuitiv des passade Vafahrn. So wean Gleichungssysteme vo ana Hürdn zu am zuverlässign Werkzeig.