Betrag und Betragsregln

Da Betrag vo ana Zoih gibt ihre Entfernung vom Nuipunkt o, unabhängig vom Vorzeichen. De anschauliche Definition führt zu ana sehr nützliche mathematische Operation, de ned bloß in da Grundlagnmathematik, sondan aa in da Analysis (etwa bei da Grenzwertbetrachtung), in da Geometrie (bei Vektorläng) und in da Stochastik (bei Standardobweichunga) a Roin spuit. Da Umgang mit Beträg is am Anfang ungewohnt, wead aba mit a weng Übung zur Routine.

Definition vom Betrag

Da Betrag vo ana reellen Zoih \(a\), gschriebn \(|a|\), is definiert ois:

\(|a| = \begin{cases} a & \text{wenn } a \geq 0 \\ -a & \text{wenn } a < 0 \end{cases}[/latex]

Für positive Zoihn und Null is da Betrag identisch mit da Zoih selba. Für negative Zoihn wead ’s Vorzeichen umdraht, ’s Ergebnis is oiso positiv.

Beispui: [latex]|5| = 5\). \(|-3| = 3\). \(|0| = 0\). \(|-\pi| = \pi\). \(|3-7| = |-4| = 4\).

Anschauliche Deutung

Auf’m Zoihnstrahl is \(|a|\) d’Entfernung vo \(a\) zum Nuipunkt. Und \(|a – b|\) is d’Entfernung zwischn zwoa Zoihn \(a\) und \(b\).

Beispui: \(|3 – 7| = 4\) bedeutet, da Obstand zwischn 3 und 7 is 4. De Deutung is sehr hüifreich bei Ungleichunga und bei da Analys vo Obstand.

Eigenschaftn vom Betrag

Da Betrag hod a paar wichtige Eigenschaftn, de ma kenna muaß:

Positivität: \(|a| \geq 0\) für olle \(a \in \mathbb{R}\), und \(|a| = 0\) genau dann, wenn \(a = 0\).

Symmetrie: \(|-a| = |a|\). Da Betrag is unabhängig vom Vorzeichen.

Moirechna: \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\).

Teiln: \(\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\) für \(b \neq 0\).

Potenz: \(|a^n| = |a|^n\).

Für Plus- und Minusrechnung gibt’s koa oafache Regl. Stattdessn güit d’Dreiecksungleichung.

D’Dreiecksungleichung

D’Dreiecksungleichung sogt: \(|a + b| \leq |a| + |b|\).

De linke Seitn is kloana oda höchstns gleich da rechtn. Gleichheit güit bloß, wenn \(a\) und \(b\) gleiches Vorzeichen hamm (oda oana vo beidn null is).

Beispui: \(|3 + 5| = 8 = 3 + 5 = |3| + |5|\). Gleichheit, weil gleiche Vorzeichen.

\(|3 + (-5)| = |-2| = 2 < 3 + 5 = 8 = |3| + |-5|[/latex]. Strikte Ungleichung.

De Ungleichung is ’s Herzstück vo viele Beweis in da Analysis, etwa bei Grenzwertdefinitionen.

Betragsfunktion

D’Funktion [latex]f(x) = |x|\) hod an charakteristischn Graphen: Se valäuft für \(x \geq 0\) wia d’Gradn \(y = x\) und für \(x < 0[/latex] wia [latex]y = -x[/latex]. Des gibt an V-förmign Graphen mit Scheitel im Urspung.

Da Knick bei [latex]x=0\) hod a wichtige Konsequenz: An dera Stell is d’Betragsfunktion ned differenzierbar. Des is a klassisches Beispui, des ma kenna muaß.

Rechna mit Beträg

Beim Rechna mit Beträg muaß ma oft Foiunterscheidunga macha. Weil da Inhoit vo da Betragsklammer ko positiv oda negativ sei.

Beispui: Lös \(|x – 3| = 5\). Des hoaßt: Da Obstand vo \(x\) zu \(3\) is \(5\). Oiso \(x = 3 + 5 = 8\) oda \(x = 3 – 5 = -2\).

Formale Lösung: Foiunterscheidung. Foi 1: \(x – 3 \geq 0\), oiso \(x \geq 3\). Dann \(|x-3| = x-3\). Gleichung: \(x – 3 = 5\), oiso \(x = 8\). Passt zu \(x \geq 3\).

Foi 2: \(x – 3 < 0[/latex], oiso [latex]x < 3[/latex]. Dann [latex]|x-3| = -(x-3) = 3-x[/latex]. Gleichung: [latex]3 - x = 5[/latex], oiso [latex]x = -2[/latex]. Passt zu [latex]x < 3[/latex].

Lösunga: [latex]x \in \{-2, 8\}\).

Betragsungleichunga

Für \(|a| < c[/latex] mit [latex]c > 0\) güit: \(-c < a < c[/latex]. Geometrisch: Olle [latex]a[/latex], deren Obstand zu Null kloana ois [latex]c[/latex] is.

Für [latex]|a| > c\) mit \(c > 0\) güit: \(a < -c[/latex] oda [latex]a > c\). Geometrisch: Olle \(a\) außahoib vom Intervall \([-c, c]\).

Beispui 1: Lös \(|x| < 3[/latex]. Lösung: [latex]-3 < x < 3[/latex], oiso [latex]x \in (-3, 3)[/latex].

Beispui 2: Lös [latex]|x – 2| \leq 5\). Lösung: \(-5 \leq x – 2 \leq 5\), oiso \(-3 \leq x \leq 7\).

Beispui 3: Lös \(|x + 1| \geq 4\). Lösung: \(x + 1 \leq -4\) oda \(x + 1 \geq 4\), oiso \(x \leq -5\) oda \(x \geq 3\).

Beträg und Quadratwurzln

A wichtiger Zammhang: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Des kimmt daher, dass d’Wurzl oiwei nicht-negativ is. Für \(a = -3\) is \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|\).

Draus foigt aa: \(|a|^2 = a^2\), was oft nützlich is.

Betrag in da Geometrie

Bei Vektorn bezeichnet ma d’Läng vo am Vektor ebenfoils mit’m Betragssymbol. Für an Vektor \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) im Raum: \(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\).

Beispui: Da Vektor \(\vec{v} = (3, 4, 0)\) hod den Betrag \(|\vec{v}| = \sqrt{9+16+0} = 5\).

Betrag in da Stochastik

In da Stochastik taucht da Betrag oft bei da Streiung auf. De mittlere absolute Obweichung is a Streiungsmaß, des mit Beträg arbat: \(\bar{d} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i – \bar{x}|\).

Aa d’Standardobweichung nutzt im Prinzip Beträg, aba in Form vo Quadratn: \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i – \bar{x})^2}\).

Kombinierte Beispui

Beispui 1: Lös \(|2x – 4| = 6\). Foi 1: \(2x – 4 = 6\), oiso \(x = 5\). Foi 2: \(2x – 4 = -6\), oiso \(x = -1\).

Beispui 2: Lös \(|x – 1| + |x – 5| = 8\). Foiunterscheidung nach \(x\):

Foi \(x < 1[/latex]: [latex](1-x) + (5-x) = 8 \Rightarrow 6 - 2x = 8 \Rightarrow x = -1[/latex]. Passt zu [latex]x < 1[/latex].

Foi [latex]1 \leq x \leq 5\): \((x-1) + (5-x) = 4 \neq 8\). Koa Lösung in dem Bereich.

Foi \(x > 5\): \((x-1) + (x-5) = 8 \Rightarrow 2x – 6 = 8 \Rightarrow x = 7\). Passt zu \(x > 5\).

Lösunga: \(x = -1\) und \(x = 7\).

Betrag ois Entfernung

D’Deutung \(|a-b|\) ois Entfernung zwischn \(a\) und \(b\) hüift oft. A Gleichung wia \(|x – 5| = 2\) liest si: Olle \(x\), deren Entfernung vo \(5\) genau \(2\) beträgt. Des san offensichtlich \(3\) und \(7\).

A Ungleichung wia \(|x – 10| \leq 3\): Olle \(x\), deren Entfernung vo \(10\) höchstns \(3\) beträgt. Des san olle \(x\) zwischn \(7\) und \(13\), oiso \([7, 13]\).

Häufige Fehla

Fehla 1: \(|a + b| = |a| + |b|\) unnehma. Foisch im Allgemoanen, d’Dreiecksungleichung sogt bloß \(\leq\).

Fehla 2: \(|-a| = -|a|\) behauptn. Foisch. Da Betrag is oiwei nicht-negativ. Richtig: \(|-a| = |a|\).

Fehla 3: Bei Ungleichunga d’Foiunterscheidung vagessn. \(|x| > 3\) gibt zwoa Bereiche: \(x < -3[/latex] oda [latex]x > 3\).

Fehla 4: Beim Lösn bloß oan Foi betrachtn. Beide Foi müassen diskutiert wean.

Wichtige Merksätz

Merksatz 1: Da Betrag is d’Entfernung zum Nuipunkt. Des hüift bei da Anschauung.

Merksatz 2: \(|a| \geq 0\) oiwei. Da Betrag vo ana Zoih is nia negativ.

Merksatz 3: \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\), aba \(|a + b| \leq |a| + |b|\). Moirechnung is Gleichheit, Plusrechnung bloß Ungleichheit.

Merksatz 4: Beim Lösn vo Betragsgleichunga oiwei beide Vorzeichen betrachtn.

Schluss

Da Betrag is a zentrala Baustoa vo da Mathematik. Er erlaubt’s uns, Obstand zum messn, ohne auf Vorzeichen schaun zu müassen. Zentrale Techniken san ’s Auflösn vo Betragsgleichunga durch Foiunterscheidung, ’s Lösn vo Betragsungleichunga und d’Awendung vo da Dreiecksungleichung. In da Oberstuf begegnet da da Betrag bei Vektorn, bei Grenzwertbetrachtunga und bei Stochastikaufgabn. Wea den Umgang mit Beträg verinnerlicht hod, ko de Aufgabn souverän bewältigen.