Binomische Formeln (1., 2., 3. binomische Formel)

De binomischn Formeln gheern zu de wichtigstn Werkzeig vo da Schuimathematik. Se san nix anders ois a obgekürzte Schreibweis für häufig auftretnde Produkte, und wea’s im Schloof beherrscht, spart in jeder Klausur und im Abitur wertvolle Zeit. Se tauchan in da Analysis beim Obleitn und Integrieren auf, in da Geometrie beim Rechna mit Vektorn, bei quadratische Gleichunga und bei da quadratische Ergänzung. Ohne binomische Formeln geht in da Oberstuf praktisch nix.

De drei binomischn Formeln im Überblick

Erste binomische Formel: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Zwoate binomische Formel: \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)

Dritte binomische Formel: \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\)

De erstn zwoa unterscheidn si bloß im Vorzeichen vom mittlern Glied. De dritte Formel is da Ausreißa: Se erzeigt koa quadratisches Trinom, sondan a Differenz vo Quadratn.

Herleitung vo da erstn binomischn Formel

De erste binomische Formel ergibt si durchs oafache Ausmultiplizieren. \((a+b)^2\) hoaßt \((a+b)(a+b)\). Mit’m Distributivgsetz: \(a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

’s mittlere Glied \(2ab\) kimmt oiso daher, dass da gmischte Term \(ab\) zwoamoi auftritt. Dean Faktor \(2\) derf ma niemois vagessn. De häufigste Foil im Schüler-Alltag is de foische Gleichung \((a+b)^2 = a^2 + b^2\). Des is schlicht foisch.

Herleitung vo da zwoatn binomischn Formel

Gnauso wia bei da erstn: \((a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 – ab – ab + b^2 = a^2 – 2ab + b^2\). Aa do tritt \(ab\) zwoamoi auf, diesmoi mit Minuszeichen.

Wichtig: ’s quadrierte Glied \(b^2\) is oiwei positiv, weil a Minus moi Minus a Plus gibt. Oiso is \((-b)^2 = b^2\).

Herleitung vo da drittn binomischn Formel

\((a+b)(a-b) = a^2 – ab + ab – b^2 = a^2 – b^2\). De gmischtn Glieda hebm si gegnseitig auf. Des macht de Formel bsonders nützlich zum Kürzn und Faktorisieren.

Geometrische Visualisierung vo da erstn Formel

Des Quadrat mit da Seitnlänge \(a+b\) zafoit in vier Teilflächn: a großes Quadrat \(a^2\), zwoa Rechteck \(ab\) (zam \(2ab\)) und a kloans Quadrat \(b^2\). De Gesamtfläch is oiso \(a^2 + 2ab + b^2\).

Beispui zu da erstn binomischn Formel

Beispui 1: \((x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\).

Beispui 2: \((2y + 5)^2 = (2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot 5 + 5^2 = 4y^2 + 20y + 25\). Aufbassn: Da Faktor \(2y\) wead ois Ganzes quadriert.

Beispui 3: \((3a + 4b)^2 = 9a^2 + 24ab + 16b^2\).

Beispui zu da zwoatn binomischn Formel

Beispui 1: \((x – 4)^2 = x^2 – 8x + 16\).

Beispui 2: \((5 – 2t)^2 = 25 – 20t + 4t^2\). Ma derf d’Reihnfoig wähln, wia’s besser passt.

Beispui 3: \((3x – 2y)^2 = 9x^2 – 12xy + 4y^2\).

Beispui zu da drittn binomischn Formel

Beispui 1: \((x + 5)(x – 5) = x^2 – 25\).

Beispui 2: \((2a + 3b)(2a – 3b) = 4a^2 – 9b^2\).

Beispui 3: \((7 + x)(7 – x) = 49 – x^2\).

Binomische Formeln ruckwärts

Mindstns gnauso wichtig wia ’s Ausmultiplizieren is ’s Ruckwärts-Lesn, oiso ’s Dakenna vo ana binomischn Formel in ana Summ. Des is da Schlüssl zum Faktorisieren.

Beispui 1: \(x^2 + 10x + 25\). Des schaut nach erste binomische Formel aus. Prüfn: \(25 = 5^2\), und \(2 \cdot x \cdot 5 = 10x\). Passt. Oiso \((x+5)^2\).

Beispui 2: \(4x^2 – 12x + 9\). Des schaut nach zwoate Formel aus. Prüfn: \(4x^2 = (2x)^2\), \(9 = 3^2\), \(2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x\). Passt. Oiso \((2x-3)^2\).

Beispui 3: \(x^2 – 16\). Differenz zwoa Quadrate: \((x+4)(x-4)\).

Awendung: Kopfrechna mit binomische Formeln

De binomischn Formeln eignan si wunderbar fürs schnelle Kopfrechna.

\(101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201\).

\(99^2 = (100-1)^2 = 10000 – 200 + 1 = 9801\).

\(53 \cdot 47 = (50+3)(50-3) = 2500 – 9 = 2491\).

So Rechnunga imponieren ned bloß, sondan zoagn aa, wia mächtig de binomischn Formeln san.

Quadratische Ergänzung

De binomischn Formeln san d’Basis für de quadratische Ergänzung, mit dera ma quadratische Gleichunga lösn und d’Scheitelform vo ana Parabel bstimma ko. D’Idee: Ma ergänzt an Term so, dass a komplette binomische Formel entsteht.

Beispui: Bring \(x^2 + 6x + 5\) auf de Form Quadrat plus Rest. ’s mittlere Glied is \(6x\). Für d’erste binomische Formel brauchan ma \(2 \cdot x \cdot b = 6x\), oiso \(b = 3\). Ma ergänzt \(3^2 = 9\) und ziagt’s wieda ob: \(x^2 + 6x + 9 – 9 + 5 = (x+3)^2 – 4\). Des is d’Scheitelform.

Des Vafahrn is da Schlüssl, um a quadratische Funktion zum vastehn, ihrn Scheitel zum finden und bei quadratische Gleichunga de Lösungsformel herzuleitn.

Häufige Fehla

Fehla 1: \((a+b)^2 = a^2 + b^2\). Foisch, ’s mittlere Glied \(2ab\) fehlt. Richtig: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Fehla 2: \((3x)^2 = 3x^2\). Foisch, aa da Faktor \(3\) wead quadriert. Richtig: \((3x)^2 = 9x^2\).

Fehla 3: Vorzeichen bei da zwoatn Formel vagessn. \((-a)^2 = a^2\), aba \(-a^2\) is negativ. Des san zwoa vaschiedne Sachan.

Fehla 4: Vorzeichen in da Mittn vo da zwoatn Formel foisch gsetzt. \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), ned \(+2ab\).

Erweiterung: höhere Potenzn

Für höhere Potenzn gibt’s andre Formeln. \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\). De Koeffizientn stamman aus’m Pascalschn Dreieck. Allgemein liefert da binomische Lehrsatz den Ausdruck für \((a+b)^n\). Fürs bayerische Abitur in Mathematik san aba de drei klassischn binomischn Formeln da absolute Kern.

Zwoa Beispuiaufgabn mit Lösunga

Aufgab 1: Vereinfach \((2x+3)^2 – (2x-3)^2\).

Lösung: \((2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9\) und \((2x-3)^2 = 4x^2 – 12x + 9\). Differenz: \(4x^2 + 12x + 9 – 4x^2 + 12x – 9 = 24x\).

Oida mit dritta binomischa Formel: \(A^2 – B^2 = (A+B)(A-B)\) mit \(A = 2x+3\) und \(B = 2x-3\). Oiso \([(2x+3)+(2x-3)] \cdot [(2x+3)-(2x-3)] = (4x)(6) = 24x\). Geht schnella.

Aufgab 2: Faktorisier \(x^2 – 10x + 25\). Ma siagt de zwoate binomische Formel: \((x-5)^2\).

Schluss

De drei binomischn Formeln san ’s A und O. Du soittst se ned bloß auswendig kenna, sondan aa ruckwärts lesn kenna. Üb, bist se im Schloof dakennst. In viele Aufgabn vom Abitur is a binomische Formel da entscheidende Trick, um a komplizierte Rechnung stark zum vereinfacha. Wea’s ned dakennt, rechnet umständlich. Wea’s dakennt, kimmt direkt ans Ziel.