Aufgabengruppe 1
Teilaufgaber a)
Zwei Klassiker zum Thema Kuglel, Gleichung einer Kugel in Koordinanteform und Schnittpunkt von Kugeln mit Ebenen (siehe Teilaufgabe b). Ob du den längeren oder kürzeren Lösungsweg, wie sie unter Tipps und Hinweise beschrieben sind, gehst, hängt wohl sehr stark von der Vorbereitung durch deine Lehrer ab. Persönlich finde ich die erste Variante, also Entwickeln der Gleichung über den Abstand mit anschließendem Quadrieren, sinnvoller, da er näher an der Grundlogik bleibt. Und nachdem dieser Aufgabentyp doch nicht zu häufig ist, lohnt meiner Meinung nach das Auswendiglernen von „Formeln“ hier nicht.
Teilaufgabe b)
Der Ansatz „Der Abstand des Kugelmittelpunkts zur \( x_{1}x_{2}\textrm{Ebene}\) entspricht der \( x_{3}\textrm{Koordinate}\) von M“ ist natürlich elegant und führt ohne großen Rechenaufwand zum Ziel. Alternativ kann man auch über \( x_{3}=0\) eine Ebenengleichung aufstellen und den Abstand von M zur Ebene berechnen. Das ist natürlich etwas aufwändiger, aber verwendet stärker ein öfters anwendbares Schema.
Aufgabengruppe 2
Teilaufgabe a)
Bei den Lösungsvorschlägen steht lapidar: „Für die gesamte Aufgabe ist eine Skizze sehr hilfreich.“ Als Erklärung dafür möchte ich ergänzen: So erhältst du die richtige Richtung deiner Vektoren! Denn mathematisch betrachtet ist diese Teilaufgabe, wie auch Teilaufgabe b, nicht allzu schwer. Allerdings ist dein räumliches Vorstellungsvermögen gefordert. Aber so wie es die Skizze zeichnet, ist es eigentlich ein sehr einfacher Fall, sofern man die Informationen zur Lage der einzelnen Punkte bezogen auf die Ebene richtig interpretiert.
Der Mittelpunkt der zwei Spiegelpunkte ist leicht gefunden, das Aufstellen der Gleichung in Koordinatenform über den Normalenvektor verläuft nach Schema.
Teilaufgabe b)
Wichtige Infos zur Lage etc. habe ich oben schon genannt; die Löungsvorschläge zeigen, dass es mehrere Varianten gibt, die Koordinaten des Punktes R zu bestimmen. Der eine freut sich über Alternativen, der andere ist dankbar über einen Standardweg. Ob diese Vielfalt jetzt als Vorteil oder Nachteil gesehen wird, kannst du selbst entscheiden.