Aufgabe 1a) Eine Standardaufgabe ohne große Überraschungen – die Definitionsmenge gebrochen rationaler Funktionen schließt bekanntlich Werte aus, die den Nenner auf Null setzen würden. Nullstellen entstehen, wenn der Zähler null wird, aber beachte Polstellen, wo der Nenner null wird. Falls also bei der Bestimmung von Nullstellen und Definitionslücken bzw. Polstellen dieselben Werte für x auftauchen, musst du hellhörig werden und dich an das Kapitel „hebbare Definitonslücke“ aus deinem Mathematikunterricht erinnern. Diese Fälle tauchen zugegebenermaßen doch recht selten auf, aber sind eigentlich recht einfach zu lösen, falls man sie als solche erkennt.
Aufgabe 1b) Diese Aufgabe kann man ausgehend von der Funktion in Aufgabe 1a lösen, muss man aber nicht. Den Nenner so zu konstruieren, dass er nie Null wird und damit die Funktion in R definiert ist, sollte einfach gelingen. Die waagrechte Asymptote bei y=3 ist auch standard. Dass der Punkt (0/4) auf dem Graphen liegen soll, probiert man am besten einfach durch einsetzen aus, und variiert dann bei Bedarf die Parameter des Funktionsterms. Eine Standardlösung, die immer zum Ziel führt, gibt es hier leider nicht.
Aufgabe 2a) Für die erste Teilaufgabe wird der Graph noch nicht benötigt. Lasse dich also davon nicht irritieren! Der Operator in dieser Teilaufgabe heißt „berechnen“.
Aufgabe 2b) Hier finden wir das Wörtchen „graphisch“. Hier wird also der Wert näherungsweise bestimmt. Arbeite trotzdem möglichst genau, graphisch ist keine Ausrede für ungenau oder schlampig!
Vielleicht erinnerst du dich an die Begriffe Sekantensteigung und Tangentensteigung. Die mittlere Änderungsrate musst du dabei gar nicht direkt ermitteln! Am besten zeichnest du die Sekante durch die Stellen x=1 und x=4 ein und suchst dann diejenige Stelle, wo die zugehörige Tangente an den Graphen von f(x) parallel zu der gerade dir gezeichneten Gerade verläuft. Beachte: wenn es für diese Teilaufgabe drei Bewertungseinheiten gibt, dann reicht es (bei den meisten Lehrkräften) nicht, nur das Ergebnis hinzuschreiben, auch wenn die graphische Bestimmung auch ohne große Eintragungen in der Abbildung möglich ist. Aber für die Nachvollziehbarkeit zeichnest du am besten die relevanten Punkte und Linien ein. Die Aufgabenstellung ist für mich hier nicht präzise genug, aber was solls. Hauptsache du bekommst diese leicht erreichbaren drei Bewertungseinheiten!