Aufgabe 4a)
Bei der Funktion \( g(x) \) handelt es sich um einen Funktion aus der Familie der gebrochen rationalen Funktionen, da im Nenner des Bruchs ein Term mit x auftaucht. Bei der Ermittelung der Definitionsmenge von gebrochen rationalen Funktionen verwenden wir immer den Ansatz \(\textrm{Nenner}\neq 0\).
Praktischerweise wird in der Aufgabenstellung die Nullstelle mit (1/0) bereits angegeben. Also ist die Stelle \( x=1 \) gleichzeitig unsere Definitionslücke und damit bei der Definitonsmenge auszuschließen.
Spontan würde man hier die Defiontionsmenge aufschreiben wollen; dies ist jedoch in der Aufgabenstellung nicht gefordert und würde keine Extrapunkte liefern.
Auf ein zweites Detail soll noch hingewiesen werden, dass in der Aufgabenstellung hier gar nicht verlangt wird: ist \( x=1 \) die einzige Definitionslücke? Die Antwort darauf ist ja: Die Aufgabenstellung enthält die Informationen „f ist in R definiert“, hat also keine Definitionslücken und damit keine Sprungstellen, und „streng monoton fallend“. Dadurch wissen wir, dass der Graph von f links neben der Nullstelle stets oberhalb und rechts von der Nullstelle stets unterhalb der x-Achse verläuft. Es kann also keine weitere Nullstelle von f und damit keine weitere Definitionslücke von g geben. Dies wäre eine meiner Meinung nach nette Variation dieser Aufgabenstellung, vielleicht für das Abi 202x???
Die zweite Frage nach dem Funktionswert \( g(-2) \) erhalten wir durch Ablesen am Graphen und Bildung des Umkehrwertes.
Aufgabe 4b)
Um den Schnittpunkt von zwei Graphen zu bestimmen, setzen wir die beiden Funktionsterme gleich. Dieser allgemeine Ansatz findet auch hier Anwendung. Bei der Lösung der Gleichung \( (f(x))^2 = 1 \) besteht die Gefahr, die Lösung \( x=-1 \) zu vergessen.
Auf den ersten Blick etwas ungewöhnlich mag erscheinen, dass die Ermittelung der Schnittpunkte nun graphisch und nicht rechnerisch erfolgen muss, und dass die ermittelten Werte für x auch noch „krumme“ Zahlen sind. Der Hinweis, dass eine graphische und keine rechnerische Bestimmung erforderlich ist / möglich ist, findet sich in der Formulierung der Aufgabenstellung: Dort steht „mithilfe der Abbildung“. Dies ist ein Indiz dafür, dass kein rechnerischer Weg nötig bzw. in diesem Falle auch nicht möglich ist. Und trotzdem muss der erste Schritt zur Bestimmung der beiden Lösungen \( x=1 \) und \( x=-1 \)rechnerisch erfolgen.