Aufgabe 1a)
Um den Graphen zu zeichnen, verwenden Sie entweder die Variante „Wertetabelle im Taschenrechner“ oder „Verschiebung der Originalfunktion“. Bei der Variante „Verschiebung“ wenden Sie an, dass der Term -2 unter der Wurzel den Graph der Wurzelfunktion um 2 nach rechts verschiebt, und dass der Term +1 hinter der Wurzel den Graphen um 1 nach oben verschiebet.
Aufgabe 1b)
Um eine Stammfunktion von \( f(x) \) zu finden, wenden Sie die Integralregel für gebrochen-rationale Exponenten an: Eine Stammfunktion zu \( \sqrt{x}=x^\frac{1}{3} \) ist Ihnen mit \( \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C \) bekannt. Glücklicherweise lässt sich dieses Schema auf die Diskrimanten \( x-2 \) direkt übertragen – ansonsten würde das mathematisch etwas anspruchvoller: \(\int_{2}^{3}\sqrt{x-2}dx=[\frac{2}{3}(x-2)^\frac{3}{2} +C]^{3}_{2}\).
Beachten Sie beim Auflösen der Klammern die Vorzeichen!
Aufgabe 2)
Eine schöne Aufgabe, bei der es verschiedene Lösungen gibt – im Lösungsbuch werden hier einige Beispiele genannt. Grundsätzlich gilt zu beachten, ob bei der angegebenen Wertemenge die Grenze im Endlichen, z.B. 1 oder 3, im Intervall eingeschlossen oder ausgeschlossen ist. Ist wie in 2b) die Grenze 3 ausgeschlossen, dann legt das Funktionen nahe, die eine waagrechte Asymptote besitzen. Aus dem Ihnen bekannten Funktionenkatalog wären dies die Exponentialfunktion oder eine gebrochen-rationale Funktion.
Aufgabe 3a)
Den Ausführungen im Lösungsbuch ist hier nichts hinzuzufügen.
Aufgabe 3b)
Diese Aufgabe läuft rückwärts, verglichen mit der typischen Aufgabe „Bestimme Tangentengleichung im Punkt A an den Graphen von f“. Die Wert für den Parameter m kann direkt abgelesen werden, der y-Achsenabschnitt t wird hier nicht benötigt. Beim Ableiten der Funktion \( h(x) \) beachten Sie, dass \( a \) als Konstante wie eine Zahl behandelt wird. Für \( x=1 \) erhalten wir so eine Gleichung, aus der wir zunächst ein Ergebnis für a, und über den Ansatz \( h(1) \) auch einen Wert für c bestimmen.