Aufgabe 1a)
Diese Aufgabe startet mit einer Falle: Durch die Angabe \(P(X=0)=P(X=5)\) ist man verführt, die Werte in der zweiten Zeile der Tabelle einfach symmetrisch zu ergänzen. Die Tabelle zeigt die Werte allerdings für \(P(X\leq k)\). Daher stellen wir zunächst eine Tabelle für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten: \(P(X=0)=P(X\leq 0) = 0,05\) können wir direkt ablesen. Sukzessive errechnen wir damit dann \(P(X=1)\) und \(P(X=2)\). Den Rest ergänzen wir aufgrund der Symmetrie.
Ausgehend von der gerade erstellen Tabelle können wir nun die Werte der kummulativen Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und in die Tabelle der Aufgabenstellung ergänzen. Als Kontrolle dient uns das Wissen, dass die Summe aller Teilwahrscheinlichkeiten und damit \(P(X\leq 5)=100%\) ergeben muss.
Aufgabe 1b)
Der Nachweis, dass die Zufallsgröße X nicht binominalverteilt ist, kann auf verschiedenen Wegen geführt werden. Die im Lösungsvorschlag beschriebene Vorgehensweise nutzt das Wissen über den Erwartungswert bei binominalverteilten Zufallsgrößen. Über den aus der Symmetrie abgeleiteten Erwartungswert \(E(X)=2,5\) und dem Wissen über n=5 wird zunächst die Wahrscheinlichkeit p abgeleitet und dann für ein beliebes k die zugehörige Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\) errechnet. Da diese Aufgabe ohne Taschenrechner gemeistert werden muss, bietet sich k=0 an, um den Widerspruch herzuleiten. Andere Werte funktionieren auch, sind aber arbeitsintensiver und fehleranfälliger.
Alternative Lösungswege sind hier natürlich ebenfalls denkbar, aber bei einer Bearbeitung ohne Taschenrechner oder Tabellenwerk schwer möglich. Der Vollständigkeit halber sollen zwei Varianten hier kurz skizziert werden, da eine ähnliche Aufgabe auch in Prüfungsteil B vorstellbar ist, und dort hat man die Hilfsmittel bekanntlich parat.
Variante 1b): Gleiche Vorgehensweise wie in der Musterlösung, nur wird der Wert B(5;0,5;0) aus dem Tafelwerk abgelesen und der Widerspruch nachgewiesen.
Variante 2) Wir leiten p aus \(P(X=0)=0,05\) ab, da gilt: \(p^5=0,05\). Wir erhalten \(p=0,05^{\frac{1}{5}}=0,54928…\). Damit müsste \(P(X=1) = 5 \choose 1 /cdot 0,5493 /cdot (1-0,5493)^4 = 0,113 \). Auch so kann der Widerspruch nachgewiesen werden, aber eben nur sehr schwer ohne Taschenrechner.