Aufgabengruppe 1 Aufgabe a)
Hier handelt es sich um zwei Klassikeraufgaben für den Prüfungsteil A, da hier bei sinnvoll gewählen Zahlenwerten ohne Taschenrechner gut lösbare Ansätze und Rechnungen abgeprüft werden können. Für die Gerade h können Aufpunkt A und der Richtungsvektor von g direkt verwendet werden und die erste Bewertungseinheit ist schon gesichert.
Der Aufgabentyp „Bestimme die Koordinaten des Punktes B so, dass er senkrecht zu … verläuft“, ist der zweite Klassiker und läuft meistens nach diesem Standardschema ab: Bestimme den Vektor \( \vec{AB} \), wobei zunächst für die Ortskoordinaten des Punkts B drei Variablen eingesetzt werden. Im zweiten Schritt ersetzen wir die drei Variablen durch die Geradengleichung, da sich der Punkt B ja auf g befinden soll. Im dritten Schritt bilden wir das Skalarprodukt aus dem Vektor \( \vec{AB} \) und dem Richtungsvektor, zu dem der erste Vektor orthogonal, also senkrecht verlaufen soll.
Beim Ansatz kann man auch mit dem Skalarprodukt beginnen und dann den Richtungsvekor einsetzen. In beiden Fällen erhalten wir eine lineare Gleichung, die wir nach der Unbekannten \(\lambda\) auflösen. Indem die Lösung für \(\lambda\) in die Geradengleichung für g eingesetzt wird, erhalten wir den gesuchten Punkt B.
Aufgabengruppe 1 Aufgabe b)
„Zufälligerweise“ haben wir mit dem Vektor \( \vec{AB} \) auch gleich die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden ermittelt, da dieser senkrecht auf beiden Geraden steht. Damit ist die Länge des Vektors \( \vec{AB} \) auch gleichzeitig der Abstand der beiden Geraden. Beachte hierbei, dass dies nur gilt, weil \( \vec{AB} \) senkrecht auf beiden Geraden steht. Durch die Parallelität der beiden Geraden wissen wir, dass er zu beiden senkrecht verläuft, weil er ja durch seine orthogonale Konstruktion (siehe Aufgabe a) eben genauso hergeleitet wurde.
Aufgabengruppe 2
Für die Frage, ob der Laserstrahl das Schild trifft, beantworten wir eigentlich die Frage: Wie groß ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Schildes und dem Schnittpunkt der Laserstrahlgeraden mit der Ebene, in der das Schild liegt.
Auch diese Aufgabe startet mit dem Klassiker „Geradengleichung aufstellen“.
Für den Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene ist die Normalenform der Ebene meistens der schnellere und fehlerunanfälligere Weg. Für die hier angegebene Ebene \(x_{2}x_{3}\) ist die Normalenform der Ebene sehr einfach und sollte bekannt sein. Über den Parameter \(\lambda\) erhalten wir die Koordinaten des Schnittpunkts und bestimmen abschließend den Abstand zum Schildmittelpunkt, um festzustellen, dass das Schild getroffen wird.