Aufgabe 3a)
Für diese Aufgabe ist es nicht nötig, die Funktion \( f(x) \) zu integrieren, sondern du kannst über das Ableiten der angegebenen Funktion \( F(x) \) prüfen, ob es sich um eine Stammfunktion handelt. Falls \( F´(x) = f(x) \) ist, dann war der Nachweis erfolgreich.
Für das Ableiten von F(x) bieten sich zwei Varianten an. Entweder wandelt du den Bruchterm durch Wahl eines negativen Exponenten in einen Term der Form \( x^{a} \) um und leitest dann nach der Regel zu \( F´(x)= a \cdot x^{a-1}\) ab. In diesem Fall wäre \( a=-\frac{1}{2} \) und \( F(x)=-2 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \). Um das Ableitungsergebnis \( F´(x) =x^{-\frac{3}{2}}\) und die angegebene Funktion \( f(x) \) auf Äquivalenz zu prüfen wählst du am besten eine gleichartige Darstellung, entweder als Bruch oder als Polynom mit rationalem Exponenten: \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3}} =\frac{1}{x^{3/2}}=x^{-\frac{3}{2}}\)
Die zweite Variante läuft über die bekannte Ableitungsregel für Quotienten. Beachte hier, dass die Ableitung des Zählers den Wert Null ergibt, ein Term im Zähler der Berechnung also verschwindet. Auch dieser Weg führt zum Ziel, er hat jedoch eigene, andere Schwierigkeiten. Für welchen Weg du dich entscheidest hängt sehr von deiner persönlichen Stärke ab: Manche fühlen sich beim Umwandeln von von Bruchtermen unsicher, wenn sie das Vorzeichen im Exponenten wechseln, sobald z.B. das x aus dem Nenner in den Zähler hochwandelt. In diesem Fall ist der zweite Weg etwas formelhafter und vielleicht sicherer. Persönlich würde ich aber den ersten Weg wählen, da er meiner Meinung nach der elegantere Weg ist.
Aufgabe 3b)
Dies ist eine typische Aufgabe, bei der du das Ergebnis beziehungsweise die Information aus Teilaufgabe 3a) weiterverwenden kannst, selbst wenn du bei dieser Teilaufgabe nicht zum Ziel gekommen sein solltest.
Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion \( f(x) \), der x-Achse und den beiden senkrechten Geraden wird durch das Integral beschrieben: \( \int_{1}^{b}f(x)dx\). Praktischerweise kennen wir aus Teilaufgabe 3a bereits eine Stammfunktion von \( f(x) \) , so dass wir das Integral direkt an der oberen und der untere Grenze auswerten können: \( \int_{1}^{b}f(x)dx =F(b)-F(1)=-\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{1}}=2-\frac{2}{\sqrt{b}}\).
Dass es sich hier um einen eleganten, kurzen Weg handelt sollte, kannst du an zwei Punkten plausibilsieren: Zum einen gibt es nur 3 BE auf diese Teilaufgabe. Für die Bestimmung eines Integrals oder einer Stammfunktion mit allen Schritten wäre das sehr wenig. Und im Prüfungsteil werden sehr selten längere Rechenwege verlangt, meistens gibt es einen kurzen, kompakten Lösungsansatz, denn im Prüfungsteil A geht es mehr um dein Verständnis als um die rechnerischen Fingerfertigkeiten.
Für die Bestimmung des Werts von b, für den dieses Flächenstück den Inhalt 1 hat, setzen wir das soeben errechnete Ergebnis gleich 1: \(2-\frac{2}{\sqrt{b}}=1\). Durch Äquivalenzumformung erhalten wir \( \sqrt{b}=2 \) und durch abschließendes Quadrieren \(b=4\).