Ein Unternehmen produziert und verkauft ein Produkt. Die Kostenfunktion \( K(x) \) und die Erlösfunktion \( E(x) \) sind gegeben durch: \( K(x) = 0,5x^{2} + 10x + 100 \) und \( E(x) = 20x \)
- Bestimme die Gewinnfunktion \(G(x) \).
- Berechne die erste Ableitung der Gewinnfunktion \( G(x) \).
- Bestimme die Produktionsmenge \( x \), bei der der Gewinn maximal ist.
Lösung:
- Gewinnfunktion \( G(x) \) : Der Gewinn \( G(x) \) ergibt sich aus dem Erlös \( E(x) \) minus den Kosten \( K(x) \): \( G(x) = E(x) – K(x) = 20x – (0,5x^2 + 10x + 100) = 20x – 0,5x^2 – 10x – 100 = -0,5x^2 + 10x – 100 \)
- Erste Ableitung der Gewinnfunktion \( G(x) \): Die erste Ableitung \( G’(x) \) gibt die Steigung der Gewinnfunktion an: \( G’(x) = \frac{d}{dx}(-0,5x^2 + 10x – 100)= G’(x) = -x + 10 \)
- Produktionsmenge \( x \), bei der der Gewinn maximal ist: Um die Produktionsmenge zu finden, bei der der Gewinn maximal ist, setzen wir die erste Ableitung gleich null und lösen nach \( x \) auf: \( G’(x) = -x + 10 = 0 \), also \( -x + 10 = 0 \)und \( x = 10 \) Die Produktionsmenge, bei der der Gewinn maximal ist, beträgt also \( x = 10 \) Einheiten.