Aufgabe 2a)
Der Funktionsterm ist das Produkt einer quadratischen Gleichung und eines Wurzelterms. Für die Definitionsmenge relevant ist bei solchen Aufgabentypen zumeist der Wurzelterm. Als Standardansatz wird geprüft, für welche Werte von x der Term unter der Wurzel (die Diskriminante) negativ wird und die Wurzel damit nicht definiert ist. Also z.B. wann würde unter der Wurzel -2 stehen. Dafür existiert keine Lösung in den reellen Zahlen.
Als Rechenansatz setzen wir die Diskriminante gleich Null, um die Grenzwerte / den Grenzwert zu finden, bei dem die Wurzel „gerade noch“ definiert ist. In diesem Fall ist die Nullstelle der Diskriminante 2. Und für alle Werte x>2 wird der Term unter der Wurzel negativ. Diese Werte müssen in der Definitionsmenge also ausgeschlossen werden.
Mit diesem Ansatz haben wir gleichzeitig schon die erste Nullstelle der Funktion g(x) gefunden. Die weiteren Nullstellen finden wir, indem die quadratische Funktion gleich Null gesetzt wird. Natürlich kann dies mit der Mitternachtsformel / Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden. Eleganter und kürzer ist jedoch das Faktorisieren. So erhält in deutlich weniger Rechenschritten und weniger fehleranfällig die beiden Nullstellen.
Nachdem eine dieser beiden Nullstellen nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, muss diese beider Angabe der Antwort ausgeschlossen werden.
Aufgabe 2b)
Eine Überprüfung der angegebenen Definitionsmenge ist nicht verlangt, verliere dafür keine Zeit.
Skizziere dir kurz den prototypischen Verlauf der ln(x)-Funktion zur Erinnerung. Für 0<x<1 (linker Abschnitt) verläuft der Graph aus dem negativ unendlichen zur x-Achse und strebt danach (rechter Abschnitt) langsam aber zielstrebig nach unendlich. Für viele Aufgaben ist die Einteilung in diese beiden Bereiche ein günstiger Lösungsansatz.
Bei der vorliegenden Aufgabe kann der Nenner nur Werte größer / gleich eins annehmen. Der Wert des Bruchs insgesamt ist damit niemals größer als eins. Damit liefert der Bruchterm im ln stets im linken Abschnitt und der ln davon nimmt nur Werte kleiner/gleich Null an. Somit liegt der Nachweis der gegebenen Wertemenge vor.