Aufgabe 2a)
Beachten Sie die Quotientenregel bei der Ableitung. Nachdifferenzieren ist hier nicht nötig. Das Kontrollergebnis sollten sie gut erreichen können.
Nutzen Sie im Zweifelsfall das Kontrollergebnis für die Bestimmung des Monotonieverhaltens, hier lassen sich die Vorzeichen von Zähler und Nenner sehr gut ermitteln. Auch die Grenzwertbestimmung für den zweiten Teil dieser Teilaufgabe findet sich ohne größere Hürden.
Aufgabe 2b)
Dem Lösungsvorschlag ist nichts hinzuzufügen. Eine nette Variante wäre es gewesen, begründen zu lassen, dass g(x) (mindestens) eine Wendestelle besitzt: denn wenn die Steigung an den Rändern Null ist und dazwischen positive Werte wegen der Monotonie annimmt, muss es (mindestens) eine Extremstelle der Ableitung und damit mindestens eine Wendestelle geben.
Aufgabe 2c)
Der Ansatz, die Wertemenge der Ausgangsfunktion mit der Wertemenge der gesuchten Funktion zu vergleichen und die Transformation der Wertemengen auf den Graphen zu übertragen, gelingt bei vielen Funktionsklassen. Als universielle Strategie also unbedingt merken.
Aufgabe 2d)
Bei dieser Teilaufgabe werden eine Menge Teilkompetenzen verlangt. Im Vergleich zu den vorigen Teilaufgaben ist das Verhältnis „Bewertungseinheit / Arbeitsleistung“ hier deutlich schlechter. Aber das sind auch die Bewertungseinheiten für die hohen Punktezahlen.
Der Ansatz der Aufgabe ist klassisch (Flächeninhaltsbestimmung in Abhängigkeit von einem Parameter), beim Integral gibt es keine großen Überraschungen (wenn eine Funktion mit x-Termen in Zähler und Nenner zu integrieren ist, dann haben Sie letztlich nur den ln(f(x)) zur Verfügung), und anschließend folgt eine längere Fingerübung mit dem natürlichen Logarithmus und der natürlichen Exponentialfunktion. Ich drücke Ihnen die Daumen, dass Ihr Korrektor für erwartbare Fehlerchen im Rechenweg nicht zu stark an den Bewertungseinheiten für den Ansatz kratzt.